Aloha :)
a) Bei der ersten Aufgabe hilft uns die Summenformel für die geometrische Reihe:$$\sum\limits_{k=0}^nq^k=\frac{1-q^{n+1}}{1-q}\quad(q\ne1)\quad\implies\quad\sum\limits_{k=0}^\infty q^k=\frac{1}{1-q}\quad(|q|<1)$$
Damit können wir die Summe wie folgt bearbeiten:
$$S_n\coloneqq\sum\limits_{k=0}^n\frac{3^k-4}{5^k}=\sum\limits_{k=0}^n\frac{3^k}{5^k}-\sum\limits_{k=0}^n\frac{4}{5^k}=\sum\limits_{k=0}^n\left(\frac{3}{5}\right)^k-4\sum\limits_{k=0}^n\left(\frac{1}{5}\right)^k$$$$\phantom{S_n}=\frac{1-\left(\frac{3}{5}\right)^{n+1}}{1-\frac{3}{5}}-4\cdot\frac{1-\left(\frac{1}{5}\right)^{n+1}}{1-\frac{1}{5}}$$Im ersten Bruch ist \(q=\frac{3}{5}<1\) und im zweiten Bruch ist \(q=\frac{1}{5}<1\). Daher konvergieren beide Brüche und ebenso ihre Differenz:$$S_\infty=\sum\limits_{k=0}^\infty\frac{3^k-4}{5^k}=\frac{1}{1-\frac{3}{5}}-4\cdot\frac{1}{1-\frac{1}{5}}=\frac{1}{\frac{2}{5}}-4\cdot\frac{1}{\frac{4}{5}}=\frac{5}{2}-4\cdot\frac{5}{4}=-\frac{5}{2}$$
b) Bei der nächsten Summe habe ich keine Konvergenz gefunden, denn für die Summanden gilt:
$$a_k=\sqrt{5k^2+6}-\sqrt{5k^2+1}=\frac{(\overbrace{\sqrt{5k^2+6}}^{=a}-\overbrace{\sqrt{5k^2+1}}^{=b})(\overbrace{\sqrt{5k^2+6}}^{=a}+\overbrace{\sqrt{5k^2+1}}^{=b})}{\sqrt{5k^2+6}+\sqrt{5k^2+1}}$$$$\phantom{a_k}=\frac{\overbrace{(\sqrt{5k^2+6}\,)^2}^{=a^2}-\overbrace{(\sqrt{5k^2+1}\,)^2}^{=b^2}}{\sqrt{5k^2+6}+\sqrt{5k^2+1}}=\frac{(5k^2+6)-(5k^2+1)}{\sqrt{5k^2+6}+\sqrt{5k^2+1}}$$$$\phantom{a_k}=\frac{5}{\sqrt{5k^2+6}+\sqrt{5k^2+1}}$$
Nach dieser Umstellung schätzen wir \(a_k\) ab. Wenn wir den Nenner größer machen, wird der Bruch kleiner, damit gilt:$$a_k>\frac{5}{\sqrt{5k^2+6}+\sqrt{5k^2+6}}=\frac{5}{2\sqrt{5k^2+6}}$$Mit der folgenden Ungleichung$$5(k+2)^2=5(k^2+4k+4)=5k^2+20k+20>5k^2+6$$können wir den Nenner weiter vergrößern und unseren Bruch daher weiter verkleinern:$$a_k>\frac{5}{2\sqrt{5(k+2)^2}}=\frac{5}{2\sqrt5}\cdot\frac{1}{k+2}>\frac{1}{k+2}$$
Damit können wir die ursprüngliche Summe wie folgt schreiben:$$S_n=\sum\limits_{k=0}^n a_k>\sum\limits_{k=0}^n\frac{1}{k+2}=\sum\limits_{k=2}^{n+2}\frac{1}{k}\to\infty$$Da die harmonische Reihe divergiert, gilt dies auch für die gegebene Summe \(S_n\).
