Funktion mit 2 Variablen: Wert im Optimum? Lösungsweg, Ergebnis richtig? f( x1,x2 )=ax1^2+3x1x2+cx2^2-15x1+229x2-6

Question

Die Funktion f( x1 , x2 ) ist in Abhängigkeit von den zwei Parametern a und c definiert als:

f( x1 , x2 )=ax1^2 + 3x1x2 + cx2^2 -15x1 + 229x2 -6

Bei geeigneter Wahl von a und c besitzt die Funktion ein globales Optimum an der Stelle x= ( 3-7 )⊤ .
Welchen Wert besitzt die Funktion in diesem Optimum?

Ich komm bei der obigen Aufgabe leider nicht auf das richtige Ergebnis, hab mir andere Beiträge auch angesehen, jedoch stimmt das Ergebnis einfach nicht bei mir.

Ich bekomm für a=6 und c=14 raus.

Wenn ich jetzt in der Funktion aber a=6, c=14, x1=3, x2=-7 einsetz, kommt -977 raus und das ist falsch!

Zur Kontrolle des Optimums muss man ja das Hesse Matrix berechnen, nun bin ich nach langem rechnen einfach nicht auf die richtige Hesse Matrix gekommen. Also mit der Hesse MAtrix die ich berechnet hab kommt heraus, dass das ein Optimum ist, aber wie gesagt kann diese Matrix von mir nicht stimmen.

Könnt ihr mir hierbei bitte helfen? Bekommt ihr auch das gleiche Ergebnis oder etwas anderes Raus?

Bin für jede Hilfe sehr dankbar!

Comments

Es ist wohl reiner Zufall, wenn jemand die Exponenten bei deiner Darstellung richtig erraten kann. 

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Hier sollte man es besser erkennen

Answer 1

Abl. nach x1 ergibt  f ' _x1 = 2*a*x1+ 3x2 -15 + 458x1 

Das =0 gesetzt gibt  2*a*x1+ 3x2 -15 + 458x1  = 0 

und wenn bei ( 3 ; -7 ) ein Optimum liegt, muss das für x1=3 und x2=-7 stimmen:

 2*a*3+ 3*(-7) -15 + 458*3  = 0 

6a -21 - 15 + 1374 = 0 

6a = -1338

a= -223  

Und mit der Abl. nach x2 bekommst du auch das c heraus.

Comments

Sollte man mit der Hesse Matrix kontrollieren ob ein optimum vorliegt oder kann man das weglassen? Komme eben auch nicht auf die Hesse Matrix..

Ableitung nach x1 versteh ich zwar schon bis auf das: wie bist du auf die +458x1 gekommen ?

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" Bei geeigneter Wahl von a und c besitzt die Funktion ein globales Optimum an der Stelle x= ( 3,-7 )^⊤ . "

Da steht "besitzt". Du musst das nicht mehr separat prüfen. 

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wie bist du auf die +458x1 gekommen ?

Das war Quatsch, hab mich vertan.

Richtig ist  f ' _x1 = 2*a*x1+ 3x2 -15 

gibt dann 2*a*x1+ 3x2 -15  = 0 

also 2*a*3+ 3*(-7) -15   = 0 

        damit a = 6

Also war dein Wert schon richtig.

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Und für c bekomm ich 14 heraus 

Alle werte eingesetzt also a=6 c=14 x1=3 x2=-7 bekomm ich -977 heraus und das sei falsch. Was kommt bei euch da raus?

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Ist dir klar, dass (-7)^2 = 49 ? 

Das weil (-7)*(-7) = +7*7 = + 49 ? 

D.h. du musst (-7) in Klammern in deinen Rechner eingeben. 

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Hab ich auch gemacht, also (-7)^2

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Ich hab jetzt für c=8.5 herausbekommen, kann das stimmen?

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Also mein Ergebnis lautet nun: -1246.5.

Kann das jemand bestätigen?

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Hab mich vorhin verrechnet, es kommt immernoch c=17 heraus.

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Habs endlich die lösung ist -830

Danke für die Hilfe!!

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Kein Problem. Danke für die Rückmeldung.