Löse folgende Aufgagen bezüglich Vektoren. Sind diese beiden Vektoren linear unabhängig?

Question

Im Vektorraum \(  \mathbb{Q}^{3} \) sei der Untervektorraum

\(U=\left[\left(\begin{array}{l}1 \\1 \\1\end{array}\right)\right]\)
gegeben, womit der Faktorraum \(  \mathbb{Q}^{3} / U \) gebildet werde.

a) Geben Sie für die Vektoren
\(x=\left(\begin{array}{l}1 \\2 \\3\end{array}\right), y=\left(\begin{array}{c}0 \\8 \\15\end{array}\right)\)
die Äquivalenzklassen \( \tilde{x}, \tilde{y} \) und \( \widetilde{3 x+y} \) an.

b) Bestimmen Sie eine Basis \( B \) von \( \mathbb{Q}^{3} / U \).

c) Stellen Sie die Vektoren
\(\widetilde{\left(\begin{array}{l}1 \\2 \\3\end{array}\right)}, \widetilde{\left(\begin{array}{c}0 \\8 \\15\end{array}\right)} \in \mathbb{Q}^{3} / U\)
bezüglich der Basis \( B \) dar. Sind diese beiden Vektoren linear unabhängig?

Comments

Woran scheitern denn deine Versuche, diese 3 Fragen, die du in den letzten 10 Minuten gepostet hast, zu beantworten?

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Habe die Überschrift nun etwas präzisiert. Ist die Frage denn inzwischen erledigt oder hast du einen Ansatz?

Answer 1

Analog zu https://de.wikipedia.org/wiki/Faktorraum#Definition

ist doch z.B. die Klasse \( \tilde{x} = x + U \)

= \( \{ \begin{pmatrix} 1\\2\\3 \end{pmatrix}+t \cdot \begin{pmatrix} 1\\1\\1 \end{pmatrix} | t∈Q \} \)

Entsprechend die anderen.

b) Die Dimension ist 2, also brauchst du nur 2 lin. unabhängige Klassen,

z.B. \( \tilde{x} \) und   \( \tilde{y} \). Dann ist auch c) einfach.

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Hi, warum ist die Dimension 2 und nicht 3 in Q³/U?