Löse folgende Aufgagen bezüglich Vektoren. Sind diese beiden Vektoren linear unabhängig?

Question

Im Vektorraum $\mathbb{Q}^{3}$ sei der Untervektorraum

$U=\left[\left(\begin{array}{l}1 \\1 \\1\end{array}\right)\right]$
gegeben, womit der Faktorraum $\mathbb{Q}^{3} / U$ gebildet werde.

a) Geben Sie für die Vektoren
$x=\left(\begin{array}{l}1 \\2 \\3\end{array}\right), y=\left(\begin{array}{c}0 \\8 \\15\end{array}\right)$
die Äquivalenzklassen $\tilde{x}, \tilde{y}$ und $\widetilde{3 x+y}$ an.

b) Bestimmen Sie eine Basis $B$ von $\mathbb{Q}^{3} / U$.

c) Stellen Sie die Vektoren
$\widetilde{\left(\begin{array}{l}1 \\2 \\3\end{array}\right)}, \widetilde{\left(\begin{array}{c}0 \\8 \\15\end{array}\right)} \in \mathbb{Q}^{3} / U$
bezüglich der Basis $B$ dar. Sind diese beiden Vektoren linear unabhängig?

Comments

Woran scheitern denn deine Versuche, diese 3 Fragen, die du in den letzten 10 Minuten gepostet hast, zu beantworten?

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Habe die Überschrift nun etwas präzisiert. Ist die Frage denn inzwischen erledigt oder hast du einen Ansatz?

Answer 1

Analog zu https://de.wikipedia.org/wiki/Faktorraum#Definition

ist doch z.B. die Klasse $\tilde{x} = x + U$

= $\{ \begin{pmatrix} 1\\2\\3 \end{pmatrix}+t \cdot \begin{pmatrix} 1\\1\\1 \end{pmatrix} | t∈Q \}$

Entsprechend die anderen.

b) Die Dimension ist 2, also brauchst du nur 2 lin. unabhängige Klassen,

z.B. $\tilde{x}$ und   $\tilde{y}$. Dann ist auch c) einfach.

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Hi, warum ist die Dimension 2 und nicht 3 in Q³/U?