Flächeninhalt des Dreiecks begrenzt durch tangenten berechnen

Question

f (x)= (4x+6) ehoch -0,5x

die tangente an Kf im Punkt B (0/f(0)) schneidet die x-Achse im Punkt F, die Normale (Senkrechte ur Tangente) in B schneidet die x-Achse im Punkt G. Berechnen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks BFG.

Answer 1

f(x) = e^{- 0.5·x}·(4·x + 6)

f'(x) = e^{- 0.5·x}·(1 - 2·x)

die tangente an Kf im Punkt B (0/f(0)) schneidet die x-Achse im Punkt F, die Normale (Senkrechte ur Tangente) in B schneidet die x-Achse im Punkt G. Berechnen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks BFG.

f(0) = 6

f'(0) = 1

Die Tangente und Normale haben also Nullstellen bei -6 und 6. Warum das so ist bitte mal zunächst selber überlegen. Falls du nicht gleich drauf kommst einfach mal eine Skizze machen.

Fläche des Dreiecks ist demnach

A = 1/2 * 12 * 6 = 36 FE

Answer 2

Tang hat m=1 also Gleichung  y=x

Normale entsprechend  y = - x

sieht dann so aus: ~plot~(4x+6)*e^{-0,5x};x+6;-x+6;[[-7|7|-1|7]]~plot~

Dreieck also Grundseite 12 Höhe 6 hat

Flächeninhalt 36.

Answer 3

Tangente:$$ T(x)=f´({ x }_{0 })*x+f({ x }_{0 })=x+6 $$

Normale: $$ N(x)=-\frac { 1 }{f´({ x }_{0 })  }+f({ x }_{0 })=-x+6$$

$$T({ x }_{1 })=0  $$--->

$$ { x }_{1 }=-6$$

$$ N({ x }_{2 })=0$$--->

$$ { x }_{2 }=6$$---> Länge der Hypotenuse des dreiecks:

$$ L=\sqrt { ({ x }_{2 }-{ x }_{1 })^2 }=12$$ Fläche A(wegen rechtem Winkel):

$$ A=\frac { f({ x }_{0 })*L }{ 2 }=36$$

(hatte ein paar Werte vertauscht^^)