Berechnen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks (tangente)

Question

Die Tangente an der Stelle -1 an den Graphen zu y=3^x schließt mit den beiden Koordinatenachsen ein Dreieck ein. Berechnen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks.

Answer 1

f(x)=3^x ==>  f ' (x) = ln(3)*3^x

==>  Steigung der Tangente ist f ' (-1) =  ln(3)/3

Berührpunkt ist ( -1 ; 1/3) also

Tangentengleichung   y =   ln(3)/3 * x + n mit ( -1 ; 1/3) gibt das

                       n = (1+ln(3))/3 also  y =  ln(3)/3 * x +  (1+ln(3))/3

Tangente schneidet die x-Achse bei -(1+ln(3)/ln(3)  und

die y-Achse bei (1+ln(3))/3

==>  Fläche ist A =  (1/2)* ((1+ln(3)/ln(3)) *   (1+ln(3))/3  =  (1+ln(3))^2 / (6*ln(3) ) ≈0,668

Könnte stimmen:

~plot~ 3^x; ln(3)/3 * x +  (1+ln(3))/3 ~plot~