Question

Zeigen Sie, dass für die Hyperbel x * y =c der Flächeninhalt des Dreiecks, das von einer beliebigen Tangente mit den Koordinatenachsen gebildet wird, gleich 2c ist.

Denkaufgabe :) Hilfe! 

Answer 1

Hyperbel  x*y = c   ( also wohl c ungleich 0 )  gibt  y =  c / x

Ableitung  y ' =  -c / x^2 .  Tangente im Punkt ( a ;  c/a ) hat Steigung  - c / a² 

also Tangentengleichung   y = - c / a²    *  x    +   n     und wegen    Punkt ( a ;  c/a )

c/a  =   - c / a²    *  a    +   n      gibt    n = 2c / a .

Also t :    y =  - c / a²    *  x    +   2c/a   schneidet die Achsen in   (  2a  ; 0 )   und  ( 0 ;  2c/a  )Also Fläche  0,5 *  2a   *  2c/a  =  2c         q.e.d.
 

Answer 2

Die Hyperbel hat die Funktionsgleichung f(x)=c·x^-1 mit der Ableitung f '(x)=-cx^-2. Der Tangentenberührpunkt werde (u;c/u) genannt. In diesem Punkt hat die Tangente die Steigung f '(u)=-c/u² und folglich die Gleichung y=-c/u²·x+2c/u. Diese Gerade schneidet die y-Achse in 2c/u und die x-Achse in 2u. Das Dreieck hat also den Flächeninhalt (2c/u · 2u)/2 =2c.