Erst mal char. Polynom bestimmen durch
det(A-x*E) =(x-2)^4 Es gibt also nur den Eigenwert 2.
Also nur einen Jordan-Block.
Dann Eigenraum bestimmen:
(A - 2*E )* (x1;x2;x3;x4)^T = 0-Vektor
führt auf die Matrix
1 0 0 -1 0
0 1 -1 1 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
x4=t x3=s x2 = -t + s x1 = t
also (x1;x2;x3;x4)=( t ; -t+s ; s ; t )
= t*( 1 ; -1 ; 0 ; 1 ) + s*( 0 ; 1 ; 1 ; 0 )
Also gibt es nur zwei lin. unabh. Eigenvektoren nämlich
( 1 ; -1 ; 0 ; 1 ) und ( 0 ; 1 ; 1 ; 0 ) .
Also gibt es zwei Jordankästchen, entweder ein einer und ein dreier
oder zwei zweier. Betrachte dazu
(A - 2*E )^2 * (x1;x2;x3;x4)^T = 0-Vektor
gibt nach Umformung
0 1 -1 1
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
also Basis des Lösungsraumes
(1;0;0;0) , (0;1;1;0) (0;-1;0;1)
Also größtest Kästchen von Größe 3 und damit
Jordanform
2 0 0 0
0 2 1 0
0 0 2 1
0 0 0 2
So, jetzt brauchen wir noch X-1 und X.
Erst mal b1 bestimmen:
z.B. wie bei
https://martin-thoma.com/jordansche-normalform-4x4-matrizen/#tocAnchor-1-9-1
Beispiel 3
b1 = (0;1;0;0)^T
b2=(0;1;0;-1)^T
b3=(1;1;2;1)^T
und dann entsprechend b4 für das kleine Kästchen
b4=(0;1;1;0)
gibt X =
0 1 0 0
1 1 1 1
1 2 0 0
0 1 -1 0
und damit bekommst du in der Tat durch
X-1 * A * X die gesuchte Jordanform
2 0 0 0
0 2 1 0
0 0 2 1
0 0 0 2
