jede Gleichung der Form n1 • x1 + n2 • x2 + n3 • x3 = c mit festen Zahlen n1 , n2 , n3 und c beschreibt im dreidimensionalen Raum eine Ebene.
Ein Punkt (x1 | x2 | x3) liegt genau dann in dieser Ebene, wenn sich beim Einsetzen seiner Koordinaten in die o.g. Gleichung eine wahre Aussage gibt. Deshalb spricht man von einer "Punktmenge".
Der Vektor \(\vec{n}\) = \( \begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix}\) ist ein sogenannter "Normalenvektor" der Ebene und steht senkrecht zu ihr.
In der Aufgabe gilt: 3x1 + 2x3 = 6
\(\vec{n}\) = \( \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}\) ist also ein Normalenvektor.
Für die Parameterform benötigt man den Ortsvektor eines Punktes, der in der Ebene liegt und zwei Richtungsvektoren, die selbst nicht parallel aber parallel zur Ebene sind.
Da der Punkt P (2|0|0) in der Ebene liegt ist \( \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\) ein solcher Ortsvektor.
Die Vektoren \( \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\) und \( \begin{pmatrix} -2 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix}\) sind nicht parallel, weil sie keine Vielfachen voneinander sind.
Ihr Skalarprodukt mit \(\vec{n}\) ist jeweils 0. Deshalb stehen sie senkrecht zu \(\vec{n}\), sind also parallel zur Ebene.
Parameterform der Ebene:
\(\vec{x}\) = \( \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\) + r • \( \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\) + s • \( \begin{pmatrix} -2 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix}\) mit r,s ∈ ℝ
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Die Ebene x1 - x3 = 0 ⇔ x1 = x3 halbiert den rechten Winkel, den die x1-x2-Ebene und die x2-x3-Ebene miteinander bilden und sie enthält die x2-Achse. Alle Punkte haben die Form (c | x2 | c) mit c∈ℝ.
Parameterform : \(\vec{x}\) = r • \( \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\) + s • \( \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\) mit r,s ∈ ℝ
Gruß Wolfgang
