Extremwertaufgabe, wie kommt man zur Zielfunktion?

Question

Ein Fenster soll die Form eines Rechtecks mit aufgesetzten Halbkreis haben. Wie sind die Abmessungen zu wählen, damit bei gegebenen Umfang die Fläche des Fensters und somit des Lichteinfalles maximal wird?

Skizze siehe Bild.

Mein Problem ist die Umstellung der Gleichung zur Zielgleichung.

Hauptbedingung: A(r;h)=2r*h+(pie*r^2/2)

Nebenbedingung: U=2h+2r+pie*r

NB nach h umstellen und dann in die HB die einsetzen.

h=U/2-r-(pie*r/2)

Eingesetzt: A(r)= 2r(2h+2r+pie*r)+(pie*r^2/2)  =3*pie*r^2+rU

Stimmt dies soweit? Bzw. kann mir hier wer under die Arme fassen:)

Lg Sophie

Answer 1

Das Einsetzen ist schief gegangen.
Ich löse nach 2h auf (brauch ich später sowieso): 2h = U - πr - 2r

Hauptbedingung: A(r;h)=2h*r+(π*r²/2)

Nach Einsetzen A(r)= ( U - πr - 2r)*r+πr²/2

Comments

Aber dies bringt mich ja ach nicht zur Zielgleichung

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Meine Zielfunktion lautet dann also A(r)=rU-2r^2-(pie*r/2)

A'(r)=0. => r=(u/(4+pie))

Dies ergibt in der 2 Ableitung ein globales Max...

Nun setze ich dies in die Zielfunktion ein

Und komme auf: A=(U/(2+pie)) *h + (U^2/32)

Ist das richtig ?

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Ist dies so in etwa richtig?

Answer 2

Hier meine Berechnungen

Für h ergibt sich auch
h = U / 7.14

Comments

Ok dann habe ich es ja erstmal richtig gemacht, aber wie sind sie auf h gekommen?

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Vorberkung : hier im Forum wird üblicherweise das " du " verwendet.

Du nimmst die Eingangsvoraussetzung
U = 2 * h + 2 * r + r * π
und setzt
r = U / 7.14
ein.
Dann kommt
h = U / 7.14 heraus.

In aller Ruhe durchrechnen.

mfg Georg

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Ok:)

Aber ich setze es ein und komme trotzdem nicht auf deinen Wert

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Hier die Berechnungen meines Matheprogramms

- Die Formel für u
- entspricht r = U / 7.14
- nochmal r = ...
- r in die erste Formel eingesetzt
- nach h umgestellt - entspricht U / 7.14

Gehe gern auf Fehlersuche. Bitte dann deine Rechnung einstellen.

mfg Georg