20e^0,1t-0,1e^0,3t=0

Question

Wie löst man die obenstehende Gleichung?

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Die reelle Lösung ist ganz einfach zu finden: 20e^0.1t = 0,1e^0,3t
oder 20e^0.1t / (0,1e^0,3t) = 1 oder 200e^-0.2t = 1 oder e^0.2t=200.
Also t/5 = ln 200 und t = 5ln200.

Answer 1

20*e ^0,1t - 0,1 * e^0,3t = 0

Der eine Exponent ist das dreifache des anderen; deshalb substituiere

e ^0,1t = x   also e^0,3t = x^3

Dann 20x - 0,1x^3 = 0

20x * ( 1 - 0,005x^2 ) = 0

x = 0    oder    1 - 0,005x^2  = 0

x=0  oder  200 = x^2

x=0  oder x = 10√2   oder   x = - 10√2  

zurück zum t

e ^0,1t = 0  kann nicht sein da e^...  immer > 0
e ^0,1t = - 10√2     dito

  e ^0,1t =   10√2  

0,1t = ln ( 10√2  )

t = 10 * ln ( 10√2  ) ist die einzige reelle Lösung.

Comments

Vielen dank, aber wenn ich nun dieses Ergebnis als Kontrolle bei t einsetze, dann bekomme ich zwar eine sehr kleine Zahl, aber nicht null...?

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Glaube ich nicht:

(Du darfst es nat. nicht mit dem Taschenrechner machen, sondern

musst exakt rechnen:

20*e ^0,1t - 0,1 * e^0,3t   und nun für t=10 * ln ( 10√2  )

gibt

20*e ^{ln ( 10√2  )} - 0,1 * e ^{3* ln ( 10√2  )}

=20*e ^{ln ( 10√2  )} - 0,1 * (e  ^{ln ( 10√2  )})³  Potenzgesetz

e hoch.. und ln heben sich auf

=20*10√2   - 0,1 *( 10√2  )^3

=    200√2   - 0,1 * 1000*2√2  

=    200√2   - 200√2  

= 0           EXAKT !

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Das ergebnis für F(t) = 0 ist in meiner Aufgabe jetzt der Zeitpunkt an dem es keine lebenden Hefezellen mehr gibt.

Jetzt lautet die Aufgabe:

Die Hefezellen produzieren 2 gramm Alkohol am Tag ( t=tage)

Wieviel Alkohol haben die Hefezellen insgesamt von t=0 bis t=10*ln(10√2) produziert.

Ich dachte daran, dies mit Integralrechnung zu lösen, und dabei diese beiden Werte als Grenzwerte zu benutzen. (Und das ergebnis am ende dann mal 2 zu nehmen)

Meine Frage lautet jetzt nur: Muss ich hier also das Volumen mit dem Integral ausrechnen?

Also Pi * integral von (F(t))²  ? Wenn ja, wie rechne ich (20*e^0,1t-0,1*e^0,3t)² ?

Answer 2

e^{0,1t} ausklammern:

e^{0,1t}*(20-0,1*e^{0,2t}) =0

20-0,1*e^{0,2t}=0

e^{0,2t}=200

0,2t=ln200

t= ln200/0,2

Answer 3

Mein Compüter-Algebra-System nenn folgende Lösungen:
t₁ = 5ln200 - 10πi
t₂ = 5ln200 + 10 πi
t₃ = 5ln200