Lineare Gleichungssysteme mit Gauß-Verfahren lösen

Question

Folgendes Gleichungssystem soll auf die Lösbarkeit überprüft werden ( mit Gauß Verfahren )

I. x + y +2z=5

II. 2x - y + 3z=3

III. 4x + y +7z= 13

Bitte um eine schrittweise Erklärung, habe das mit dem Eliminieren und dem Überbestimmt/unterbestimmt nicht ganz verstanden

Answer 1

I. x + y +2z=5          | * -2 zur 2. Gleichung addieren

II. 2x - y + 3z=3          | * -2 zur 3. Gleichung addieren

III. 4x + y +7z= 13

I. x + y +2z=5        

II.      -3y  -  z= - 7     jetzt die 2. zur 3. addieren       

III.     3 y +  z=   7

I. x + y +2z=5        

II.      -3y  -  z= - 7        

III.               0  =   0

Jetzt siehst du, die 3. Gleichung stimmt immer.

Man sagt das System ist unterbestimmt.

Also kannst du die 3. Variable beliebig wählen, etwa   z = t .

Das setzt du in die 2. Gleichung ein und es gibt

- 3y =  - 7 + t

    y = 7/3  - t/3  

jetzt z und und y in die 1. Gleichung einsetzen gibt

x +  7/3  - t/3  + 2t = 5

also x = -5t/3 + 8/3

also sind alle Lösungen von der Art

x = -5t/3 + 8/3         y = 7/3  - t/3        z=t

Und egal was du für t einsetzt, es ist immer eine

Lösung des Gl.syst.  Probier mal !