Partielle Integration: ∫x^n ln x dx

Question

Aufgabe partielle Integration:

∫xⁿ ln x dx

f(x)= lnx → f´(x)= 1/x

g´(x)= xⁿ ---> g(x)= (xⁿ⁺¹)/(n+1)

∫ xⁿ lnx dx = ln x * ((xⁿ⁺¹)/(n+1)) - ∫ 1/x * ((xⁿ⁺¹)/(n+1)) dx

ab hier komme ich nicht weiter.

Ansatz/Problem:

f(x) und g(x) habe ich bereits bestimmt. Ich komme leider nicht auf die Lösung, die Wolframalpha anzeigt.

Answer 1

Kürze mit x.

1/x * ((xⁿ⁺¹)/(n+1)) = 1/(n+1) * x^n 

nun weiterintegrieren. 

Du gehst im Moment davon aus dass x>0 gilt. Schreib das noch hin, obschon zu Beginn schon klar ist, dass ln(x) nur definiert ist, wenn x>0. 

Comments

Danke. Leider sehe ich immer noch nicht wie man auf 1/(n+1) * xⁿ   kommt :/. Könntest du mir bitte die einzelnen Schritte zeigen.

1/x * ((xⁿ⁺¹)/(n+1))

wenn ich x kürze. Wie komme ich denn auf xⁿ? Was passier mit  ⁿ⁺¹?

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x^{n+1} = x^n * x^1 = x^n * x

Dann alles auf einen Bruchstrich nehmen und mit x kürzen.

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liegt das an der Regel= a^m* aⁿ = a ^{m+n ?}

^--> 1/x* ((xⁿ*x¹)/(n+1))

= xⁿ/(n+1)

ist das so richtig?

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ja. genau, so stimmt das.

 xⁿ/(n+1)

= 1/(n+1) * x^n 
Für die Integration kannst du den Faktor 1/(n+1) vor das Integralzeichen schreiben.

Answer 2

Eigentlich bist du schon recht weit gekommen.

Du hättest nur das x im Nenner zu einem
x^{-1} im Zähler machen müssen. Dann verrechnen mit
x^{n+1} * x^{-1} = x^{n+1-1} = x^{n}