Bestimmen Sie die Koordinaten der Punkte mit waagerechter Tangente aller Scharkurven.

Question

Gegeben ist: f_a(x)=x² * e^{-x²/a} ; x∈R

Bestimmen Sie die 1.Ableitung von f_a(x) nachvollziehbar. Bestimmen Sie die Koordinaten der Punkte mit waagerechter Tangente aller Scharkurven K_a (Ich denke mal, dass hier mit die HP und TP gemeint sind).

Berechnen Sie die Gleichung der Ortskurve, auf der alle Punkte mit waagerechter Tangente aller Scharkurven liegen.

Answer 1

Wo ist deine Ableitung ?

Wo sind deine Ideen ?

f(x) = x^2·EXP(- x^2/a)

f'(x) = 2/a·x·e^{- x^2/a}·(a - x^2)

Waagerechte Tangente bei f'(x) = 0 --> x = ± √a ∨ x = 0

Ortskurve

a = x^2

f(x) = x^2·EXP(- x^2/x^2) = x^2·EXP(- 1) = 1/e · x^2

Answer 2

Gegeben ist: f_a(x)=x² * e^-x2/a ; x∈R
Bestimmen Sie die 1.Ableitung von f_a(x) nachvollziehbar.
Bestimmen Sie die Koordinaten der Punkte mit waagerechter Tangente
aller Scharkurven K_a (Ich denke mal, dass hier mit die HP und TP gemeint sind).

Nicht unbedingt : ein Sattelpunkt wäre auch ein Punkt mit waagerechter Tangente.

Berechnen Sie die Gleichung der Ortskurve, auf der alle Punkte mit
waagerechter Tangente aller Scharkurven liegen.

Lösung mathecoach :
x = +√ a
x = - √ a

( Hinweis a muß positiv sein )

dann die y-Koordinate ( Funktionswert ) berechnen
f (  +√ a ) = a / e
f (  -√ a ) = a / e

Weil x in der Funktionsgleichung im Quadrat vorkommt ergibt sich
derselbe Funktionswert.

Ort ( ±√ a | a / e )

x =  ±√ a
y = a / e

x =  ±√ a umstellen zu
a = x^2
einsetzen in y = a / e

ortskurve ( x ) = x^2 / e

~plot~ x^2 * e^{-x^2/1}; x^2 * e^{-x^2/2}; x^2 * e^{-x^2/3} ; x^2 / e ~plot~

Comments

Erst einmal vielen Dank für beide Antworten!

Wieso wurde nicht die hinreichende Bedingung verwendet?

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Was meinst du damit ?

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Gesucht sind ja letztlich HP/TP/SP und dafür brauchen wir nicht nur die notwendige sondern auch die hinreichende Bedingung.