Wie finde ich heraus, ob es ein Sattelpunkt oder eine Extremstelle ist?

Question

Wir sollten die Extrempunkte der Funktion f(x)= x⁴-8x³+18x²+8 berechnen

Ich habe soweit alles ausgerechnet, also die notwendige und hinreichende Bedingung geblidet. Bei der n.B. kamen x=0 und x=3 raus.

Bei der h.B. für f''(0)= 36 TIEFPUNKT und für f''(3)=0 also Sattelpunkt oder eine Extremstelle

Wie finde ich denn jetzt heraus, ob es wirklich ein Sattelpunkt oder ein Extrema ist? Ohne den Taschenrechner !

Answer 1

Ich empfehle das Vorzeichenwechselkriterium

f(x) = x⁴ - 8·x³ + 18·x² + 8

f'(x) = 4·x³ - 24·x² + 36·x = 4·x·(x² - 6·x + 9) = 4·x·(x - 3)²

x = 0 ist einfache Nullstelle mit VZW von - nach + also ein Tiefpunkt

x = 3 ist doppelte Nullstelle ohne VZW von + nach + also ein Sattelpunkt.

Answer 2

Aloha :)

Du bestimmst die kritischen Punkte. Das sind die Nullstellen der ersten Ableitung:$$0\stackrel!=4x^3-24x^2+36x=4x(x^2-6x+9)=4x(x-3)^2$$Also sind die kritischen Punkte $x=0$ und $x=3$.

Über die Art des Extremums, gibt die zweite Ableitung Auskunft:

$$f''(x)=12x^2-48x+36$$$$f''(0)=36>0\implies\text{Minimum}$$$$f''(3)=0\implies\text{weiter prüfen}$$

Wenn die zweite Ableitung $=0$ ist, kannst du weitere Ableitungen bilden, und zwar so lange, bis du auf eine Ableitung triffst, die $\ne0$ ist.$$f'''(x)=24x-48\implies f'''(3)=24>0\implies\text{Sattelpunkt}$$Wenn die Ableitung $\ne0$ die 2-te, 4-te, 6-te, ... ist, liegt ein Extremum vor. Wenn die Ableitung $\ne0$ die 3-te, 5-te, 7-te,... ist, liegt ein Stattelpunkt vor.

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f₁(x) = x⁴-8x³+18x²+8Zoom: x(-1…4) y(0…40)