Aloha :)
Du bestimmst die kritischen Punkte. Das sind die Nullstellen der ersten Ableitung:$$0\stackrel!=4x^3-24x^2+36x=4x(x^2-6x+9)=4x(x-3)^2$$Also sind die kritischen Punkte \(x=0\) und \(x=3\).
Über die Art des Extremums, gibt die zweite Ableitung Auskunft:
$$f''(x)=12x^2-48x+36$$$$f''(0)=36>0\implies\text{Minimum}$$$$f''(3)=0\implies\text{weiter prüfen}$$
Wenn die zweite Ableitung \(=0\) ist, kannst du weitere Ableitungen bilden, und zwar so lange, bis du auf eine Ableitung triffst, die \(\ne0\) ist.$$f'''(x)=24x-48\implies f'''(3)=24>0\implies\text{Sattelpunkt}$$Wenn die Ableitung \(\ne0\) die 2-te, 4-te, 6-te, ... ist, liegt ein Extremum vor. Wenn die Ableitung \(\ne0\) die 3-te, 5-te, 7-te,... ist, liegt ein Stattelpunkt vor.
~plot~ x^4-8x^3+18x^2+8 ; [[-1|4|0|40]] ~plot~
