Tatsächlich gibt es eine Methode, die den von Lu angesprochenen Fall behandelt:
Nehmen wir mal den Fall f'(x0) = 0 und f''(x0) = 0.
Nun müssen weitere Ableitungen im Punkt x0 gebildet werden.
Damit ein Extrempunkt vorliegt, muss die niedrigste Ableitung, die nicht verschwindet eine gerade Ableitung sein.
Das heißt z.B. für den obigen Fall ist es hinreichend, dass zusätzlich f'''(x0) = 0 und f''''(x0) ≠ 0 gelten; die Kriterien für Hoch- und Tiefpunkt ergeben sich analog.
Wendet man dieses Verfahren auf die vorgeschlagene Funktion f(x) = x6 - 0.0001x4 an, erhält man:
f'(x) = 6x5 - 0.0004x3, f'(0) = 0
f''(x) = 30x4 - 0.0012x2, f''(0) = 0
f'''(x) = 120x3 - 0.0024x, f'''(0) = 0
f''''(x) = 360x2 - 0.0024, f''''(0) = -0.0024 ⇒ f hat ein Maximum in x=0
Nochmal ganz formal:
Wenn x0 Extrempunkt von f ist, dann gilt f'(x0) = 0.
Wenn f'(x0) = 0, f''(x0)=0, ..., f(2n-1)(x0) = 0 und f(2n)(x0) > 0 (<0) dann ist x0 streng lokales Minimum (streng lokales Maximum von f).