Wie findet man heraus, ob es sich bei den Extrempunkten um einen Hoch- oder Tiefpunkt handelt?

Question

wie finde ich das nur heraus. ich stehe völlig auf dem schlauch

Answer 1

Die wohl beliebteste Methode ist die notwendige und hinreichende Bedingung zu untersuchen.

 

notwendige Bedingung: f'(x)=0

hinreichende Bedingung: f'(x)=0 und f''(x)≠0.

Die hinreichende Bedingung kann dabei noch spezifiziert werden:

f''(x)>0           -> Tiefpunkt

f''(x)<0           -> Hochpunkt

 

Grüße

Answer 2

Man setzt die Extremstelle in die zweite Ableitung ein.

Ist das Ergebnis negativ, handelt es sich um eine rechtskrümmung bzw. ein Maximum. Ist das Ergebnis aber positiv ist der Graph dort linksgekrümmt und man hat ein Minimum.

f'(x) = 0 und f''(x) < 0 ==> Hochpunkt

f'(x) = 0 und f''(x) > 0 ==> Tiefpunkt

Answer 3

Du hast ja bereits zwei Antworten erhalten, die mit der zweiten Ableitung arbeiten. Das ist eine Regel, die du dir merken solltest, da man sie immer anwenden kann.

Nur im Fall f ''(x_o) = 0, muss man etwas überlegen.

Nun ist es so, dass links von einem Hochpunkt die Kurve steigt und rechts davon fällt. Dh. die erste Ableitung (Steigung) ist links vom Hochpunkt grösser als 0 und rechts vom Hochpunkt kleiner als 0. Deshalb kann man statt der gefundenen Nullstelle Zahlen, die links und rechts ganz nahe bei x₀ sind in die erste Ableitung einsetzen. 

Wenn zB. f ' (x₀ - 0.01) > 0 und f ' (x₀ + 0.01) < 0 gilt, hat man in x_o einen Hochpunkt

Umgekehrt: Bei f ' (x₀ - 0.01) < 0 und f ' (x₀ + 0.01) > 0 , hat man in x_o einen Tiefpunkt.

In einem Hochpunkt wechselt das Vorzeichen der ersten Ableitung von + zu -

In einem Tiefpunkt von - zu +.

Ändert sich das Vorzeichen der ersten Ableitung nicht, und ist trotzdem f ' (x_o) = 0, so liegt ein Terrassenpunkt vor.

Comments

Sei  f  definiert durch  f(x) = x⁶ - 0.0001x⁴.
Diese Funktion hat sicher einen Hochpunkt an der Stelle  x₀ = 0.
Es ist  f'(x₀) = f''(x₀) = 0  sowie  f'(x₀ - 0.01) < 0  und  f'(x₀ + 0.01) > 0.
Das steht im Widerspruch zu obigen Ausführungen.

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Wenn man's genau nimmt, muss man die Steigung genügend nahe beim Extrempunkt betrachten. Abstand 0.01 ist als Beispiel gemeint.

Anonym hat hier ein f konstruiert, dessen Nullstellen sehr nahe beieinander und bei 0 liegen.

Wenn man's genau nimmt, muss man die Steigung genügend nahe beim Extrempunkt betrachten.

f(x) = x⁶ - 0.0001x⁴ = 0

x^4(x^2 - 0.0001) = 0

x_1,2,3,4 = 0

x₅ = √0.0001 = 0.01

x₆ = - √0.0001 = -0.01

D.h. die Kurve hat bei x=-0.01 und x=0.01 schon wieder eine einfache Nullstelle. Das bedeutet automatisch einen Vorzeichenwechsel.

x=0 ist eine Vierfache Nullstelle. D.h. dort überquert f die x-Achse nicht. Daher sicher Max. oder Min.

Nun kannst du f(x) = x⁶ - 0.0001x⁴ ansehen. Da der höchste Exponent 6 gerade ist, ist f für sehr grosse und kleine x positiv. 

Nun kann man skizzieren: Graph kommt von links oben ins Koordinatensystem, schneidet die x-Achse bei x = - 0.01, berührt sie bei x=0 und schneidet sie wieder bei x = 0.01. 

Folgerung: in x=0 liegt ein lokales Max. vor.

Das weiss man hier ohne abzuleiten.

Julian Mi's Vorgehen braucht ein paar Ableitungen mehr. 

Answer 4

Tatsächlich gibt es eine Methode, die den von Lu angesprochenen Fall behandelt:

Nehmen wir mal den Fall f'(x₀) = 0 und f''(x₀) = 0.

Nun müssen weitere Ableitungen im Punkt x₀ gebildet werden.
Damit ein Extrempunkt vorliegt, muss die niedrigste Ableitung, die nicht verschwindet eine gerade Ableitung sein.

Das heißt z.B. für den obigen Fall ist es hinreichend, dass zusätzlich f'''(x₀) = 0 und f''''(x₀) ≠ 0 gelten; die Kriterien für Hoch- und Tiefpunkt ergeben sich analog.

 

Wendet man dieses Verfahren auf die vorgeschlagene Funktion f(x) = x⁶ - 0.0001x⁴ an, erhält man:

f'(x) = 6x⁵ - 0.0004x³, f'(0) = 0
f''(x) = 30x⁴ - 0.0012x², f''(0) = 0
f'''(x) = 120x³ - 0.0024x, f'''(0) = 0

f''''(x) = 360x² - 0.0024, f''''(0) = -0.0024 ⇒ f hat ein Maximum in x=0

 

Nochmal ganz formal:

Wenn x₀ Extrempunkt von f ist, dann gilt f'(x₀) = 0.

Wenn f'(x₀) = 0, f''(x₀)=0, ..., f^(2n-1)(x₀) = 0 und f⁽²ⁿ⁾(x₀) > 0 (<0) dann ist x₀ streng lokales Minimum (streng lokales Maximum von f).