fa(x) = 2/3x3 + 1/2ax2-a2 x
fa´(x ) = 2 * x2 + ax - a2
Mit der quadr. Ergänzung
2 * x2 + ax - a2 = 0 | : 2
x2 + a/2 * x - a2 / 2 = 0
x2 + a/2 x + ( a/4 ) 2 - ( a/4 ) 2 = a2 / 2
( ( x + a/4 ) 2 = a2/2 + a2 / 16
( ( x + a/4 ) 2 = a2 * 8 / 16 /2 + a2/ 16
( ( x + a/4 ) 2 = 9 a2 / 16
x + a/4 = ± ( 3 *a / 4 )
x = 2 a/4 = a / 2
und
x = -4a/4 = - a
f´´( x ) = a + 4x
f ´´ ( a/2 ) = a + 4 * a/2 = 3a
f ´´ ( - a ) = a + 4 * - a = -3a
a > 0
3a ist positiv, linkskrümmung, Tiefpunkt
-3a ist negativ, rechtskrümmung, Hochpunkt