Berechne die Extrempunkte und gib jeweils an, ob es sich um einen Hoch- oder um einen Tiefpunkt handelt.

Question

Aufgabe:

fa(x) = 2/3x³ + 1/2ax²-a² x    

Problem/Ansatz:
Extrempunkt berechnen

0 = fa'(x) = 2x² +ax² -a²
Stecke hier fest
Normalerweise p-q Formel also | :2
Dann wirds aber ganz wild in der p-q Formel....

Übersehe ich etwas ?

Text erkannt:

Eine Funktionenschar
\( f_{a}(x)=\frac{2}{3} x^{3}+\frac{1}{2} a x^{2}-a^{2} x \quad \mathrm{a}>0 \)
a) Berechne die Extrempunkte und gib jeweils an, ob es sich um einen Hoch- oder um einen Tiefpunkt handelt.

Answer 1

Hallo,

du hast die Ableitung nicht richtig gebildet, vielleicht wurde es deshalb so wild.

\(f_a'(x)=2x^2+ax-a^2\\ 2x^2+ax-a^2=0\\x^2+\frac{1}{2}ax-\frac{1}{2}a^2=0\\ x_{1,2}=-\frac{1}{4}a\pm\sqrt{\frac{1}{16}a^2+\frac{1}{2}a^2}\\ x_{1,2}=-\frac{1}{4}a\pm\sqrt{\frac{9}{16}a^2}\)

...

Gruß, Silvia

Answer 2

fa(x) = 2/3x^3 + 1/2ax^2-a^2 x  

fa´(x ) = 2 * x^2 + ax - a^2

Mit der quadr. Ergänzung

2 * x^2 + ax - a^2 = 0 | : 2
x^2 + a/2 * x - a^2 / 2 = 0
x^2 + a/2 x + ( a/4 ) ^2 - ( a/4 ) ^2 = a^2 / 2
( ( x + a/4 ) ^2 = a^2/2 + a^2 / 16

( ( x + a/4 ) ^2 = a^2 * 8 / 16 /2 + a^2/ 16
( ( x + a/4 ) ^2 = 9 a^2 / 16
x + a/4 = ± ( 3 *a / 4 )

x = 2 a/4 = a / 2
und
x = -4a/4 = - a

f´´( x ) = a + 4x

f ´´ ( a/2 ) = a + 4 * a/2 = 3a
f ´´ ( - a ) = a + 4 * - a = -3a
a > 0

3a ist positiv, linkskrümmung, Tiefpunkt
-3a ist negativ, rechtskrümmung, Hochpunkt