Welchen Anteil jeweiligen Geldes solltest du pro Runde setzen, um Y_N im Erwartungswert zu maximieren?

Question

Aufgabe:

Wir betrachten das folgende Spiel:

Eine unfaire Münze (P(Zahl) = p > 0.5 ist uns bekannt) wird geworfen. Pro Runde darf ein freier prozentualer Betrag (q_i) des Kapitals eingesetzt werden - bei Sieg gewinnen wir den Einsatz, bei Niederlage verlieren wir ihn. Angenommen das Spiel läuft N Runden:

a) Welchen Anteil meines Kapitals sollte man pro Runde setzen, um den Erwartungswert von Y_N zu maximieren, wobei y_0 = Startkapital, Y_1 = Kapital nach Runde 1, etc.)

b) Welchen Anteil des Kapitals sollte man pro Runde setzen, um den Erwartungswert von log(Y_N) zu maximieren?

Problem/Ansatz:

Ich habe mir bisher folgenden Ansatz überlegt:

E(Y_1) = y0 + (y0*q_1*p) - (y0*q_1*(1-p))

E(Y_2) = E(Y_1) + E(Y_1)*q_2*p - E(Y_1)*q_2*p

...

E(Y_N) = E(Y_N-1) + E(Y_N-1)*q_n*p - E(Y_N-1)*q_n*p

und versucht diese Formeln unabhängig von Y_i-1 darzustellen - bin jedoch bei Umformungen auf keine gute Lösung gekommen. Ich bin mir relativ sicher, dass mein Ansatz korrekt sein sollte, weiß jedoch nicht so wirklich weiter.

Vielen Dank für eure Unterstützung!

Answer 1

Bei \(E(Y_1)\) und \(E(Y_2)\) hast du im negativen Term mit \(p\) statt mit der Gegenwahrscheinlichkeit \((1-p)\) multipliziert.

Durch etwas ausklammern kommst du dann auf

$$E(Y_n)=y_0 \prod_{i=1}^n (1+q_i(2p-1))$$

und kannst dann argumentieren, dass für \(p=0,5\) die \(q_i\) beliebig gewählt werden können. Für \(p<0,5\) muss \(q_i=0\) und für \(p>0,5\) muss \(q_i=1\) gewählt werden, um den Erwartungswert zu maximieren.

Comments

Auf diese Lösung bin ich auch gekommen, jedoch ergibt für mich die Setzung mit 1 nicht viel Sinn, da stets die Gefahr besteht, das man alles verliert - auch die Simulation des Spiels in Python ergibt, dass q=1 kein guter Wert ist, um nach N Runden ein möglichst hohes Kapital zu haben.

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Auf lange Sicht rechnet es sich (theoretisch) trotzdem.

Für n=5 liefert meine Simulation bei 1.000 Spielen z.B.:

q= 0:     0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48
q= 1:  
q= 2:  
q= 3:  
q= 4:  
q= 5:  
q= 6:  
q= 7:     51
q= 8:     50 52
q= 9:     53 55 63 64
q=10:     49 54 56 57 58 59 60 61 62 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100

Wobei hier die q in 10% gemessen werden (also q=10 => 100%) und hinter jedem q die Gewinnwahrscheinlichkeiten in % stehen, bei denen dieser Einsatz den höchsten durchschnittlichen Gewinn über die 1000 Spiele erbracht hat.

Für 10.000 Spiele:

q= 0:     0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49
q= 1:  
q= 2:     50
q= 3:  
q= 4:  
q= 5:  
q= 6:  
q= 7:  
q= 8:  
q= 9:     54 57 58
q=10:     51 52 53 55 56 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100

Und für 100.000:

q= 0:     0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49
q= 1:  
q= 2:  
q= 3:  
q= 4:  
q= 5:     50
q= 6:  
q= 7:  
q= 8:  
q= 9:  
q=10:     51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100

Für größere n braucht man noch höhere Spielzahlen, bis sich das Bild ergibt. Für n=100 und 1.000 Spiele z.B. ergibt sich noch ein sehr chaotisches Bild:

q= 0:     0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49
q= 1:     50
q= 2:  
q= 3:     51 52 56
q= 4:     53 54 57
q= 5:     55 58 60 62 63 64 65
q= 6:     59 61 66 69 72 73
q= 7:     67 68 70 71 78
q= 8:     74 75 76 77 79 80 81
q= 9:     82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 94
q=10:     93 95 96 97 98 99 100

Wenn man 100 Runden pro Spiel spielt, ist es natürlich extrem unwahrscheinlich bei 100% Einsatz nicht alles zu verlieren. Aber wenn man doch einmal gewinnt. rechnet es sich halt (solange p>50%) trotzdem auf lange Sicht.