Funktionenschar ( Hoch/Tiefpunkt berechnung etc. )

Question

Gegeben ist der Funktionenschar f_a mit f_a(x) = -ax³+4ax.

a) b) hab ich hingekriegt.

c) Zeigen Sie, dass alle Graphen von f_a genau einen Hochpunkt und einen Tiefpunkt besitzen.

Ich weiß nicht wirklich wie ich das jetzt anstellen soll.

d) Bestimmen Sie die Gleichung der Wendetangente von f_a und berechnen Sie, für welchen Wert von a diese Tangente die Steigung m = 8 hat.

Weiß ich auch nicht wie's geht.

Haben das Thema auch gerade erst angefangen, also Praxis darin habe ich noch nicht.

Grüße

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So ich hab jetzt zu c) auch mal einen Ansatz wovon ich aber davon ausgehe das er falsch ist:

f_a'(x) = -3ax²+4a

f_a''(x) = -6ax

Notwendige Bedingung: fa'(x) = 0

-3ax^2+4a = 0 | :-3a

x^2 -4/3 = 0 | +4/3

x^2 = 4/3 | √

x1 ≈ 1,155 x2 ≈ -1,155

Hinreichende Bedingung: fa'(x) = 0 , fa''(x) ≠ 0

fa''(1,155) = -6,93a -> HP

fa''(-1,155) = 6,93a -> TP

aber ich glaube nicht das das richtig ist oder?

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Dagegen ist nichts einzuwenden :-)

Answer 1

Wendetangente
f_a(x) = -ax³+4ax
f ´( x ) = -3*x^2 + 4a
f ´´( x ) = -6 * x

Wendestelle
-6 * x = 0
x = 0

f ( 0 ) = 0
W ( 0  | 0 )

Wendetangente
f ´( 0 ) = 4a
t ( x ) = f ´( 0 )  * x
t ( x ) = 4a * x

f ´( 0 ) = 4a = 8
a = 2

t₂ ( x ) = 8 * x

~plot~ -2 * x^3 + 8*x ; 8 * x ; [[ -4 | 4 | -8 | 8 ]]  ~plot~

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Danke ! Mir fällt immer wieder auf wie viel Mühe du in deine Antworten steckst...Respekt ! Weiter so !

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Zu deiner Information :
ich bin nicht aus ganz selbstlosen Gründen im Forum.
Ich bin schon etwas älter und will damit Gehirnjogging betreiben
um geistig fit zu bleiben.
Die einen lösen Kreuzworträtsel, ich arbeite hier mit.
Außerdem habe ich meine Erfolgserlebnisse wenn ich einen Vorgang/
Aufgabe klar durchdenken kann.
mfg Georg

Answer 2

du berechnest mit  f_a''(x) = 0 die Wendestelle(n)  [ Überprüfung mit f '''(x) ≠0] und "den" Wendepunkt (x_w | y_w)

Die Wendetangente hat dann die Gleichung

t:    y = f_a'(x_w) • (x - x_w) + y_w  

Gruß Wolfgang