ich deute die Aufgabenstellung mal so, dass man die ersten fünf Summanden des Taylorpolynoms angeben soll. Dafür braucht man \( f \) und die ersten vier Ableitungen von \( f \):
\( f(x) = \exp(1-x^2) \),
\( f'(x) = -2x \exp(1-x^2) \),
\( f''(x) = -2 \exp(1-x^2) + (-2x)(-2x) \exp(1-x^2) \)
\( = (-2 + 4x^2) \exp(1-x^2) \),
\( f'''(x) = 8x \exp(1-x^2) + (4x - 8x^3) \exp(1-x^2) \)
\( = (12x - 8x^3) \exp(1-x^2) \),
\( f''''(x) = (12-24x^2) \exp(1-x^2) + (-24x^2 + 16x^3) \exp(1-x^2) \)
\(= (12 - 48x^2 + 16x^3) \exp(1-x^2) \).
An der Stelle \( x_0 = 1 \) ausgewertet ergibt sich für diese fünf Funktionen \( f(x_0 = 1) = 1 \), \( f'(1) = -2 \), \( f''(1) = 2 \), \(f^{(3)}(1) = 4 \) und \( f^{(4)}(1) = -20 \).
Das Taylorpolynom vierten Grades ist demzufolge
\( \sum_{i=0}^{4} \frac{f^{(i)}(1)}{i!} (x-1)^2 \)
\( = 1 - 2(x-1) + (x-1)^2 + \frac{2}{3} (x-1)^3 - \frac{5}{6} (x-1)^4 \).
Dieser Ausdruck lässt sich auch noch vereinfachen, indem man alle Potenzen ausmultipliziert und Potenzen von \( x \), die den selben Exponenten haben, zusammenfasst. Dadurch würde man eine Darstellung als Polynom mit \( 5 \) Summanden bekommen, in der jede Potenz von \( x \) ihren eigenen Summanden hat.
Schöne Grüße
Mister
