Beweisen dass folgende Aussage gilt a) 15 teilt 2^4n - 1

Question

Es ist zu zeigen, dass für alle n ∈ ℕ gilt:

a) 15 teilt (2^4n-1)

b) 729 teil (n² + 3n)*(n² - 1)*(n² - 4)

Ich habe es mit vollständiger Induktion versucht aber ich komme nicht weiter

EDIT(Lu): Gemeint war gemäss Kommentar:

a) 15 teilt 2⁴ⁿ - 1

b) 720 teilt (n² + 3n)*(n² - 1)*(n² - 4)

Comments

15 ist mit Sicherheit kein Teiler einer Zweierpotenz

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Es scheint mir so, dass bei a) \( 2^{4n} - 1 \) gemeint ist.

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es sollte eigentlich heißen:

a) 15 teilt 2⁴ⁿ - 1

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Dann steht einem Beweis ja jetzt nichts mehr im Weg :)

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bei b) sollte es heißen: 720 teilt (n² + 3n)*(n² - 1)*(n² - 4)

Answer 1

a) Annahme: (2^{4n}-1)/15=k ; k∈ℕ

IDA: n=1 Aussage stimmt

IDS: (2⁴⁽ⁿ⁺¹⁾-1)/15=(2^{4n}*16-1)/15=(((k*15)+1)*16-1)/15=16k+1  ∈ ℕ

Comments

Okay, jetzt noch Aufgabe b) :)

Answer 2

Hier mal ein Anfang für b)

720 teilt (n² + 3n)*(n² - 1)*(n² - 4)

720 = 2*360 = 2*2*2*90 = 2*2*2*2*45 = 2*2*2*2*3*3*5

 (n² + 3n)*(n² - 1)*(n² - 4) = n(n+3)(n-1)(n+1)(n-2)(n+2)

=(n-2) (n-1)n(n+1)(n+2)(n+3)

Das sind 6 aufeinanderfolgende Faktoren. 

Zwei davon sind durch 3 teilbar, 

drei sind durch 2 teilbar, und davon mindestens eine sogar durch 4. ==> 2⁴ ist als Faktor im Resultat. 

mindestens einer davon ist durch ist durch 5 teilbar, 

Daher sind alle diese Zahlen (n² + 3n)*(n² - 1)*(n² - 4) durch 3^2 * 2^4 * 5 teilbar. 

Comments

du hast da einen kleinen Fehler:

720 = 2*360 = 2*2*180 = 2*2*2*90 = 2*2*2*2*45 = 2*2*2*2*3*15 = 2*2*2*2*3*3*5 = 2⁴*3²*5

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ok. danke.

Ich ergänze die Zeile

drei sind durch 2 teilbar,

zu

drei sind durch 2 teilbar, und davon mindestens eine sogar durch 4. ==> 2^4 ist als Faktor im Resultat. 

Answer 3

a)    15 ist mit Sicherheit kein Teiler einer Zweierpotenz

b)    für n=3 ergibt sich   " 729 teilt  720 "  , was natürlich falsch ist.

Gruß Wolfgang

Comments

Ich bin immer noch der Meinung, dass das ein Kommentar sein sollte.

Hatten Sie bei der ursprünglichen Frage nicht bemerkt, dass sie falsch abgetippt worden war?

Answer 4

a)

Aussage:

$$ {2}^{4n} - 1 $$ ist teilbar durch 15 für n >= 0. Zeige, dass gilt:

 $$ \frac{{2}^{4n} - 1}{15} = 1 $$ Für n = 1:

$$ \frac{{2}^{4\cdot1} - 1}{15} = 1 \\ 15 = 15\quad wahr$$

Prüfe für n+1:

$$  \frac {(2^{4(n+1)} - 1)}{15} = 1 \\ \frac {((2^{4n}\cdot 2^{4}) - 1)}{15} = 1 \\\frac {2^{4n}}{15}\cdot \frac{16}{15} - \frac{1}{15} = 1 \\ (2^{4n}\cdot16)-1 = 15 \\ 2^{4n} \cdot 16 = 16 $$

Damit ist die Aussage bewiesen.

Comments

In der drittletzten Zeile hat sich ein Fehler eingeschlichen: Die \( 15 \) dürfte nur einmal im Nenner des ersten Summanden auf der linken Seite vorkommen.

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Warum darf ich annehmen, dass

$$ \frac { { 2 }^{ 4(n+1) }{ -1 } }{ 15 } \quad =\quad 1 $$ ?

müsste es nicht

$$ { (2 }^{ 4(n+1) }{ -1 })*k\quad =\quad 15\quad \forall k\epsilon Z $$

$$ \\ \frac { { (2 }^{ 4(n+1) }{ -1)*k } }{ 15 } \quad =\quad 1 $$