Integral von (cos(x))^2 mit partieller Integration

Question

Hallo ich habe das Integral , welches mit Partieller Integration gelöst werden soll ( Keine Substituion ).

$$\int { { \cos { (x) }  }^{ 2 } } dx$$ .

Ich habe das Problem das : Wenn ich in die Formel einsetze $$\int { f(x)*g(x)dx } =F(x)*g(x)-\int { F(x)*g^{ ´ }\left( x \right)  } $$ bekomme ich das angebene Integral nicht weg weil das immer zwischen sin^2(x) und cos^2(x) schwankt wodurch ich wieder beim Anfang wäre .

Kann mir jemand Helfen ?

Blöde Randfrage geht das überhaupt mir partieller Integration? Oder kann es sein das ich draufkommen soll?

Wenn es doch geht , gibt es einen Trick oder hab ich mich einfach wo verrechnet?

Danke =)

Answer 1

geht das überhaupt mir partieller Integration?->ja

es gibt einen kleinen Trick , sonst läuft das Integral in eine Unendlichkeitsschleife.

Comments

Vielen Dank , ich sehe Schon den Trick bei der Letzten Zeile , einfach als eine Gleichung ausgedrückt und umgeformt  sodass , das was ich brauche genau da steht .

Answer 2

∫ cos(x) * cos(x) dx

= sin(x) * cos(x) - ∫ sin(x) * (- sin(x)) dx 

= sin(x) * cos(x) + ∫ sin(x) * sin(x) dx 

Verwende jetzt sin²(x) + cos²(x) = 1 --> sin²(x) = 1 - cos²(x)

= sin(x) * cos(x) + ∫ 1 - cos(x) * cos(x) dx 

= sin(x) * cos(x) + ∫ 1 dx - ∫ cos(x) * cos(x) dx

∫ cos(x) * cos(x) dx = sin(x) * cos(x) + x - ∫ cos(x) * cos(x) dx 

2 * ∫ cos(x) * cos(x) dx = sin(x) * cos(x) + x

∫ cos(x) * cos(x) dx = 1/2 * (sin(x) * cos(x) + x)

Answer 3

bekomme ich das angebene Integral nicht weg weil das immer zwischen sin^2(x) und cos^2(x) schwankt wodurch ich wieder beim Anfang wäre . 

Dann brauchst du den gleichen Trick wie hier

https://www.mathelounge.de/36365/bestimme-die-integrale-mit-partieller-integration-∫sin-cos

Wenn du eine Unbekannte links und rechts vom GLEICH hast, sorgst du dafür, dass sie nur noch auf einer Seite vorkommt.

Diese Unbekannte ist hier zufälligerweise ein Integral.

Comments

Cool , danke für den Hinweis , ich habe hn bereits erkannt an Grosserloewes Bild bei den Letzten Zeilen
so etwas wie x=a-x => 2x=a =>x=a/2 ^^

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Genau. Das passt so.

Vergiss zum Schluss das + C nicht.

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was heißt den zufällig ? gibt es eine erklärung oder herleitung dafür ?