Eingeschlossene Fläche? Vorgehen bei der Schnittpunktberechnung und Flächenberechnung

Question

Ich möchte mir ein allgemeines Rezept dazu erstellen.

Mir fehlt einfach die Theorie die mir in Mathe (schule/studium) zu kurz kommt, meiner Meinung nach.  Ich kann rechnen, aber ich weiß nicht was ich rechne. Deshalb meine Frage.

wenn man z.B. 2 Schnittpunkte von einer Geraden und einer Funktion ausrechnen will. Beides ist gegeben.

Einfache Werte

Funktion fx= (2x^2)-2

Gerade g=x+1

 

Bitte korrigieren

1) Funktion und Gerade gleichsetzen 

(2x^2)-2=x+1 und je-nachdem pq-Formel

Jetzt weiß ich wo die sich schneiden. Muss man die x-Werte in die 1.Ableitung einsetzen für die Punkte, bzw. S1(...;...)  und S2(...;...)

2) wie bekommt man den Schnittpunkt S(1,5;2,5) heraus? bzw. wenn der andere Schnittpunkt auch nicht auf der x-Achse direkt liegen würde?

3) Wie kann man die Fläche unter der Geraden ausrechnen, welche die Funktion mit der Geraden einschließt? 

Wie würde der Ansatz / das Integral lauten?

4) Wie die obere Fläche?

Comments

Schreibweise ist folgendermassen geläufiger:

Einfache Werte

Funktion f(x):= (2x²)-2 oder f: y= (2x^2) - 2

Gerade g: y=x+1

Answer 1

1)

Wie Du schon sagst, musst Du die beiden Gleichungen gleichsetzen:

2x^2 -2 = x + 1

2x^2 - x - 1 = 0

x2 - x/2 - 1/2 = 0

Mit der p-q-Formel erhältst Du dann die x-Werte der Schnittpunkte.
Diese musst Du in eine der beiden Gleichungen (nicht in die Ableitungen) einsetzen, um S1 und S2 zu erhalten.
Machen wir es einmal mit beiden Gleichungen

f(1,5) = 2*1,5^2 -2 = 4,5 - 2 = 2,5 => S1 = (1,5|2,5)

f(-1) = 2*(-1)^2 - 2 = 2 - 2 = 0 => S2 = (-1|0)

Und mit der Geraden:

1,5 + 1 = 2,5 => S1 = (1,5|2,5)

-1 + 1 = 0 => S2 = (-1|0)


Das Integral berechnet man dann normalerweise, indem man die Differenz der beiden Funktionen berechnet, davon die Stammfunktion ermittelt und dann in den gegebenen Grenzen (hier von -1 bis 1,5) integriert.

Man muss dabei aber immer auf die Vorzeichen achten, z.B. bei der Integration von sin in den Grenzen 0 bis 2π.


Mal sehen:

h(x) = g(x) - f(x) = x + 1 - 2x^2 + 2 = -2x^2 + x +3
H(x) = -2/3*x^3 + 1/2*x^2 + 3x

H(1,5) - H(-1) =

3,375 + 1,8333333333 ≈ 5,208333

Answer 2

Bitte korrigieren

1) Funktion und Gerade gleichsetzen 

(2x²)-2=x+1 und je-nachdem pq-Formel

Jetzt weiß ich wo die sich schneiden. ok.

Muss man die x-Werte in die 1.Ableitung einsetzen für die Punkte, bzw. S1(...;...)  und S2(...;...) nein. in die Funktions- oder die Geradengleichung.

2) wie bekommt man den Schnittpunkt S(1,5;2,5) heraus? bzw. wenn der andere Schnittpunkt auch nicht auf der x-Achse direkt liegen würde?

Du brauchst nur die Schnittstellen. Die y-Werte der Schittpunkte sind überflüssig.

3) Wie kann man die Fläche unter der Geraden ausrechnen, welche die Funktion mit der Geraden einschließt? 

Wie würde der Ansatz / das Integral lauten?

4) Wie die obere Fläche?

3) und 4) Du kannst direkt das bestimmte Integral von 1. zur 2. Schnittstelle:  ∫ (f(x)-g(x) dx berechnen. Danach noch den Betrag des Resultats nehmen. Wichtig: Die Graphen dürfen sich zwischen den beiden Schnittstellen nicht überschneiden. D.h. Du musst gegebenenfalls Teilflächen berechnen.