Für den Abstand eines Punktes zu einer Ebene nimmt man eine spezielle Normalenform, nämlich die Hesse'sche Normalenform.
Die sieht auf den ersten Blick genau so aus wie die Normalenform \( \left(\vec{x}-\vec{a}\right)\cdot \vec{n} = 0 \). Allerdings muss \( \vec{n} \) normiert sein, d.h. es muss \( |\vec{n}| = 1 \) gelten.
Die Normalenform ist so zu lesen:
- Der Punkt mit Orstvektor \( \vec{x} \) liegt genau dann in der Ebene mit Stützvektor \( \vec{a} \) und Normalenvektor \( \vec{n} \), wenn \( 0 = \left(\vec{x}-\vec{a}\right)\cdot \vec{n} \) ist.
Das gilt natürllich auch für die Hesse'sche Normalenform. Die interessante Eigenschaft der Hesse'schen Normalenform ist aber:
- Der Punkt mit Orstvektor \( \vec{x} \) hat von der Ebene mit Stützvektor \( \vec{a} \) und Normalenvektor \( \vec{n} \) den Abstand \( d = \left(\vec{x}-\vec{a}\right)\cdot \vec{n} \).
Wenn du die Hesse'sche Normalenform so verwendest, dann gehört da keine 0 auf die linke Seite.
Zur Parallelität: Wärest du von der Gleichung \( d = \left(\vec{x}-\vec{a}\right)\cdot \vec{n} \) mit normiertem \( \vec{n} \) ausgegangen, dann hättest du durch Einsetzen der Geraden für \( \vec{x} \) die Lösung \( d = 3 \) bekommen (dein Normalenvektor hat die Länge 7, deshalb hast du das siebenfache des Abstandes als Ergebnis). Da du die Parameterform der Geraden eingesetzt hast (und nicht nur einen konkreten Punkt der Geraden), heißt das, dass jeder Punkt der Geraden einen Abstand von 3 zur Ebene hat. Also muss die Gerade parallel zur Ebene sein.
