Eine quadratische Matrix, die auf der Hauptdiagonalen nur Einsen und sonst nur Nullen hat, heißt Einheitsmatrix.
Beispiel. Die Einheitsmatrix aus vier Zeilen und vier Spalten sieht so aus: $$ \begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}. $$
Mutipliziert man eine Einheitsmatrix E mit einer anderen Matrix A gleicher Zeilen- und Spaltenanzahl, so ist das Ergebnis wieder A.
Beispiel. Es ist $$ \begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}2&3&5\\7&11&13\\17&19&23\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2&3&5\\7&11&13\\17&19&23\end{pmatrix}. $$
Die Einheitsmatrix hat also in gewissem Sinne die selbe Rolle für Matrizen, wie die 1 für Zahlen hat. Denn auch bei Zahlen gilt \( 1\cdot x = x \) für jede beliebige jede Zahl \( x \).
Es gibt Paare von quadratischen Matrizen, die miteinander multipliziert die Einheitsmatrix ergeben.
Beispiel. Es ist $$ \begin{pmatrix}2&3&5\\7&11&13\\17&19&102\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}875&-211&-16\\-493&119&9\\-54&13&1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}. $$
Wenn \( A\cdot B \) die Einheitsmatrix ergibt, dann heißt die Matrix \( B \) die zu \( A \) inverse Matrix. Sie wird auch mit \( A^{-1} \) bezeichnet.
Die zu einer Matrix inverse Matrix kann man bestimmen indem man die Matrix um die Spalten der einheitsmatrix ergänzt und dann elementare Zeilenumformungen durchführt bis in den ersten Spalten die Einheitsmatrix steht.
Beispiel. Um die Inverse Matrix der Matrix \( \begin{pmatrix}2&3&5\\7&11&13\\17&19&102\end{pmatrix} \) zu bestimmen wird die Matrix \( \begin{pmatrix}2&3&5&1&0&0\\7&11&13&0&1&0\\17&19&102&0&0&1\end{pmatrix} \) durch elementare Zeilenumformungen so umgeformt, dass in den ersten drei Spalten die Spalten der Einheitsmatrix steht. Dadurch entsteht die Matrix \( \begin{pmatrix}1&0&0&875&-211&-16\\0&1&0&-493&119&9\\0&0&1&-54&13&1\end{pmatrix} \).
