Wie kann ich zu dieser Matrix eine Inverse bilden?

Question

Wie kann ich zu solch einer Matrix eine Inverse bilden ?

Answer 1

Hallo Unknowni,

⎡ 2  a ⎤

⎣ a  2 ⎦

rechts um Einheitsmatrix erweitern, dann diese durch Gauß-Umformungen "nach vorn bringen" (vgl. unten #):

⎡ 2  a  1  0 ⎤

⎣ a  2  0  1 ⎦

Gauß-Algorithmus:

⎡  2           a             1        0 ⎤

⎣  0      2 - a²/2     - a/2      1 ⎦    Z2 - Z1 * a/2

⎡  2              0          4/(4 - a²)      2·a/(a² - 4)  ⎤       Z1 - Z2 * (2 - 2a)/(a² - 4)

⎣  0        2 - a²/2       -  a/2                   1          ⎦

Durch Diagonalenelemente dividieren:

⎡  1              0             2/(4 - a²)          a/(a² - 4)    ⎤

⎣  0              1             a/(a² - 4)            2/(4 - a²)  ⎦

    Das ist die Inverse   für  a≠ ± 2

   (sonst ist A₃ nicht regulär (Determinante =0)   →  keine Inverse)

---------------

# Bei dieser 2x2-Matrix kannst du auch direkt mit der Definition der Inversen arbeiten:

A * A^-1 = E

⎡ 2  a ⎤  *  ⎡ w  x ⎤  =  ⎡ 1  0 ⎤

⎣ a  2 ⎦      ⎣ y  z ⎦      ⎣ 0  1 ⎦

⎡ a·y + 2·w     2·x + a·z ⎤   =   ⎡ 1  0 ⎤

⎣ 2·y + a·w     a·x + 2·z ⎦        ⎣ 0  1 ⎦

Dann hast du 4 Gleichungen für die Unbekannten  w,x,y und z der Inversen

Gruß Wolfgang