Konvergenz einer Reihe für x=? Σ(k=0bis^{oo}) (-2)^k/(k+1) * (x+1/2)^k

Question

ich möchte für ein gesuchtes x die Konvergenz folgender Reihe bestätigen:

Σ(k=0bis^{oo}) (-2)^k/(k+1) * (x+1/2)^k    

EDIT: Summe korrigiert gemäss drittem Kommentar. 

Die Lösung lautet x aus (-1,0]. Das würde dann ja auf die geometrische Reihe für den zweiten Teil der Reihe hindeuten und somit würde dieser Teil konvergieren.

Wie verhält es sich aber mit dem ersten Teil, dem Bruch der Reihe? Konvergiert der dann auch einfach?

Comments

Der Faktor (x + 1/2) hat auf das Konvergenzverhalten der Reihe keinen Einfluss, da dieser von k unabhängig ist und somit ausgeklammert werden kann.

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Meinst du vielleicht: 

Σ(k=0_bis^{oo}) (-2)^k/(k+1)! * (x+1/2)^k   ?

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@Lu

Ja, entschuldigt, vorne ist es k=0 und der letzte Term ist hoch k. Aber ohne das Fakultät beim ersten Term!

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Ok. Dann ist a_(k) = (-2)^k/(k+1)

und du berechnest damit den allfällig vorhandenen Konvergenzradius.

Sicher konvergiert die Reihe für x = -1/2 gegen 0. 

Von x=-1/2 aus müsstest du allenfalls noch den Konvergenzradius abtragen.