Integral mit partieller Integration, Substitution

Question

Ich hänge bei folgender Aufgabe und würde mich über Hilfe freuen:

Es soll ein Integral mit partieller Integration berechnet werden von f(x) = x/(1-x)²

Also habe ich folgendes aufgeschrieben: [1/2*x^2 *(1-x)^2] - S 1/2*x^2 * (-2*(1-x)^-3) dx

=  [1/2*x^2 *(1-x)^2] - S -x^2/(1-x)^3 dx

Dann wollte ich substituieren, und zwar z= 1-x, aber dann komme ich auf 1/2*x^2 *(1-x)^2 - S -x^2/z^3 dz und dann weiß ich nicht weiter. Müsste man nicht eigentlich von Anfang an substituieren?

Kann mir jemand sagen, was ich falsch mache?

Answer 1

∫ x/(1 - x)^2 dx

∫ x * (1 - x)^{-2} dx = x * 1/(1 - x) - ∫ 1 * 1/(1 - x) dx = x/(1 - x) - (- LN(x - 1)) = x/(1 - x) + LN(x - 1)

Comments

Ahh okay, verstehe. Aber ist (1-x)^-2 integriert nicht -1/(1-x) ?

Answer 2

Rationale Funktionen integriert man mit PBZ.

Answer 3

Wenn Du es mit part. Integration machen sollst::

u= 1/(1-x)

u'= 1/((1-x)^2)

v=x

v'=1

->1/(1-x) *x -∫ (1/(1-x)) *1 dx

->1/(1-x) *x -∫ 1/(1-x))  dx

Comments

Danke :) Kannst du mir sagen, warum es nicht -1/(1-x) ist?

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an welcher Stelle genau?

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Nach dem Integrieren, also das Integral von 1/(1-x)^2, müsste da nicht ein minus davor sein in der letzten und vorletzten Zeile?

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z=1-x

dz/dx=-1

dx=dz/(-1)

---->

=-1 ∫1/z^2 dz

= (-1) *(-1/z) +C

=1/z +C

=1/(1-x) +C

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Natürlich.., mit Substitution. Danke dir!