integral von x*sqrt(1+x) mit substitution und partieller integration

Question

Ich komme mal wieder nicht weiter :(

Ich soll die Funktion x*sqrt(1+x) im Intervall von [0,1] integrieren einmal mit partieller Integration und einmal mit u(x) =sqrt(1+x) substituieren.

Substitution: u=sqrt(1+x) => x=u^2-1    -> das setze ich dann ein: (S=Integralzeichen)

S u*(u^2-1) du = S u^3 - u du = S u^3 du -S u du = [(1/4)u^4]-[(1/2)u^2]

Und das rechne ich dann aus, wenn es denn richtig wäre? Sieht für mich zu einfach aus..

Und bei der partiellen Integration weiß ich nicht, welches g(x) man besser wählen kann um es aufzuleiten, habe beide versucht, bleibe bei beiden Möglichkeiten wieder hängen den zweiten Teil aufzuleiten.

Ich bin um jede Hilfe dankbar !!! :)

Answer 1

Weg mittels partielle Integration :

Comments

Weg über Substutution:

Answer 2

Mit Substitution:

$$\int_0^1x\cdot \sqrt{1+x}\, dx=\int_0^1(1+x-1)\cdot \sqrt{1+x}\, dx\\ =\int_0^1(1+x)\cdot \sqrt{1+x}\, dx-\int_0^1 \sqrt{1+x}\, dx \\ =\int_0^1(1+x)\cdot (1+x)^{\frac{1}{2}}\, dx-\int_0^1 (1+x)^{\frac{1}{2}}\, dx\\ = \int_0^1  (1+x)^{\frac{3}{2}}\, dx-\int_0^1 (1+x)^{\frac{1}{2}}\, dx$$ Wir substitutieren u = 1+x. Dann haben wir du = dx. Wenn x=0, dann u=1 und wenn x=1, dann u=2. So bekommenwir folgendes: $$\int_0^1  (1+x)^{\frac{3}{2}}\, dx-\int_0^1 (1+x)^{\frac{1}{2}}\, dx=\int_1^2  u^{\frac{3}{2}}\, dx-\int_1^2 u^{\frac{1}{2}}\, dx$$ Wir wenden die Potenzregel an und bekommen: $$\left [\frac{ u^{\frac{3}{2}+1}}{\frac{3}{2}+1}\right ]_1^2- \left [\frac{u^{\frac{1}{2}+1}}{\frac{1}{2}+1}\right ]_1^2=\frac{2}{5}\cdot \left [ u^{\frac{5}{2}}\right ]_1^2- \frac{2}{3}\cdot \left [u^{\frac{3}{2}}\right ]_1^2=\frac{2}{5}\cdot \left( 2^{\frac{5}{2}}-1\right)- \frac{2}{3}\cdot \left(2^{\frac{3}{2}}-1\right)$$


Mit partielle Integration:

$$\int_0^1x\cdot \sqrt{1+x}\, dx=\int_0^1x\cdot (1+x)^{\frac{1}{2}}\, dx=\int_0^1x\cdot \left(\frac{2}{3}(1+x)^{\frac{3}{2}}\right)'\, dx\\ =\left [x\cdot \frac{2}{3}(1+x)^{\frac{3}{2}}\right ]_0^1-\int_0^1(x)'\cdot \frac{2}{3}(1+x)^{\frac{3}{2}}\, dx \\ = \frac{2}{3}\cdot 2^{\frac{3}{2}} -\int_0^1 \frac{2}{3}(1+x)^{\frac{3}{2}}\, dx=\frac{2}{3}\cdot 2^{\frac{3}{2}} -\frac{2}{3}\cdot \left [\frac{ (1+x)^{\frac{3}{2}+1}}{\frac{3}{2}+1}\right ]_0^1 \\ = \frac{2}{3}\cdot 2^{\frac{3}{2}} -\frac{2}{3}\cdot \left [\frac{ (1+x)^{\frac{5}{2}}}{\frac{5}{2}}\right ]_0^1 =\frac{2}{3}\cdot 2^{\frac{3}{2}} -\frac{2}{3}\cdot \frac{2}{5}\cdot \left [(1+x)^{\frac{5}{2}}\right ]_0^1 \\ = \frac{2}{3}\cdot 2^{\frac{3}{2}} -\frac{4}{15}\cdot \left(2^{\frac{5}{2}}-1\right)$$

Answer 3

x * √ ( 1 + x )
Einen Faktor mußt du ableiten,
einen Faktor mußt du aufleiten.

Dadurch soll ein Faktor wegfallen.
Es bietet sich das x an.

u = x
u ´ = 1

∫ u * v ´ = u * v - ∫ u ´ * v

v ´= ( 1 + x ) ^{1/2}
v = 2/3 * ( 1 + x ) ^{3/2}

∫  x * ( 1 + x ) ^{1/2} =
  x * 2/3 * ( 1 + x ) ^{3/2} - ∫ 1 * 2/3 * ( 1 + x ) ^{3/2}

∫ 1 * 2/3 * ( 1 + x ) ^{3/2}
2/3 * ∫ ( 1 + x ) ^{3/2}
2/3 * 2/5 ( 1 + x ) ^{5/2}
4/15 ( 1 + x ) ^{5/2}

Insgesamt
  x * 2/3 * ( 1 + x ) ^{3/2} - 4/15 ( 1 + x ) ^{5/2}

Comments

soweit waren wir doch schon 

:-)

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Ich hatte deine Lösung übersehen.

Selbstcharakterisierung
Verliert der Bauer im August die Hose war im Juli das Gummiband schon lose.