Funktion f: Z -> Z mit f(z):= |z| . Surjektiv und/oder injektiv?

Question

Hat einer eine idee wie ich diese Aufgabe lösen kann? 

Answer 1

Aufgabenteil 1) ist relativ leicht.

Surjektiv ist es nicht, da gilt  \( \exists y \in \mathbb{Z} \) derart dass \( \nexists z \in \mathbb{Z} \) mit \( f(z)=y \). Beispiel \( \forall y < 0 \).

Injektiv ist es ebenfalls nicht, denn \( \exists z_1, z_2 \in \mathbb{Z} \) mit \( z_1 \neq z_2 \) derart dass \(f(z_1) = f(z_2) \). Beispiel \( z_1 = -1 \wedge z_2 = 1 \).

Gruß

Comments

Hallo vielen Dank erstmal.

Warum nicht surjektiv, weil z < 0 ist. Oder wie kann man das verstehen?

Gruß

---

Surjektiv bedeutet ja, für jedes Elemernt y des Raums in den abgebildet wird gibt es einen Wert x aus der Definitionsmenge, so dass gilt \( f(x)=y \).

Es gilt aber

\( f(x)=\vert x \vert \geq 0 \quad \forall x \).

Wäre hier die Abbildung

\( f: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}^+_0 \)

dann wäre sie surjektiv.

---

Wie kommt man auf die 7?

---

Von welcher 7 sprichst Du?

---

Von dieser 7:

1) Die Betragsfunktion f(x) = |x| ist nicht injektiv, weil f(2) = f(-2) aber 2 ≠ -2.

Die Betragsfunktion ist nicht surjektiv, weil es kein x gibt, so dass f(x) = - 7 .

2) f(U) = { 0, 1 ,2, 3 }  .

Menge der Urbilder der Elemente in f(U) ist wieder U.

3) Ist etwas umständlich formuliert (und wohl nicht eindeutig) . Ich klammere mal eine Interpretationsmöglichkeit.

Menge der (Urbilder (der Elemente in V)) unter f .

-10 und -5 haben kein Urbild unter f.

Menge aller Urbilder der Elemente in V , also W = { - 15, -10, 0, 10, 15}

f(W) = { 0, 10, 10}

---

ahh das war also ein Kommentar zu der anderen Antwort... :-)

Effektiv kann man jede negative Zahl nehmen, da für die Betragsfunktion gilt \( f(x) = \vert x \vert \geq 0 \quad \forall x \)

Gruß

Answer 2

1) Die Betragsfunktion f(x) = |x| ist nicht injektiv, weil f(2) = f(-2) aber 2 ≠ -2.

Die Betragsfunktion ist nicht surjektiv, weil es kein x gibt, so dass f(x) = - 7 .

2) f(U) = { 0, 1 ,2, 3 }  .

Menge der Urbilder der Elemente in f(U) ist wieder U.

3) Ist etwas umständlich formuliert (und wohl nicht eindeutig) . Ich klammere mal eine Interpretationsmöglichkeit.

Menge der (Urbilder (der Elemente in V)) unter f .

-10 und -5 haben kein Urbild unter f.

Menge aller Urbilder der Elemente in V , also W = { - 15, -10, 0, 10, 15}

f(W) = { 0, 10, 10}

Answer 3

      f  :  A  ====>  B    (  1  )



   heißt doch: f geht von A nach B . Dabei heißt A Definitionsbereich und B Zielmenge oder Wertevorrat; ist das soweit klar? In unserem Zusammenhang ist nun wesentlich, dass sich ( streng genommen ) die Abbildung f ändert, wenn du diese Menge B änderst ( obwohl du davon ja gar nix merkst. ) Denk doch einfach an ein Computerprogramm; die Abbildung f könnte sein



       f  :  ===>  |N  ====>  |N       (  2a  )

                        x  ===>  2  x      (  2b  )



     Und jetzt sage ich, nein; f geht von |N ====> R  Die Zielvariable wird einfach " Typ reell " definiert; das ist schon etwas anderes ( auch vom Ausgabeformat ) ob ich sie ganzzahlig oder reell Gleitkomma definiere.
   Wohl zu unterscheiden von der Zielmenge ist das BILD einer Funktion; auf Ly cos haben die einen User, einen Mathelehrer ( ! ) der das Regel mäßig verwechselt. Soll ich die Definition der Bildmenge nochmal anschreiben? Es ist aber genau das, was man von der Alltagssprache her auch vermuten würde. In ( 1 ) wäre etwa



       Biild  (  U  )  =  {  y  €  B  |  (E)  x  €  U  :  y  =  f  (  x  )  }         (  3  )




   In Worten: Das Bild der Menge U enthält nur die y aus der Zielmenge, die auch als f ( x ) dargestellt werden können; x € U .
    Und hier beißt sich praktisch die Katze in den Schwanz; ich kenn das ja von den Vorlesungen, wo ich selbst hingegangen bin. Um in ( 1 ) überhaupt erst mal die Zielmenge zu definieren, musst du ein Vorverständnis haben, welche Bilder denn wenigstens prinzipiell zu erwarten sind. Für die Abbildungsvorschrift ( 2b ) kannst du unmöglich her gehen und ( 2a ) etwa ersetzen durch



      f  :  |N  ====>  {  0  ;  1  }        (  4  )



    Eine solche Abbildung ist ja gar nicht definiert, weil etwa 2 * 4 711 weder Null noch Eins ergibt. In unserem Zusammenhang ist also fest zu halten: Für jede Abbildungsvorschrift der Form ( 1 ) wäre ( streng genommen ) zunächst zu beweisen, dass sie WOHL DEFINIERT ist. Für den Definitionsbereich A kennst du diese Verpflichtung ja schon lange; so ist etwa bei der Wurzelfunktion stets darauf zu achten, dass der Definitionsbereich keine negativen Zahlen enthält. Aber mit dem Wertevorrat schludert man gern ein bisserl; da tut man so, als könnte man damit großzuügig verfahren.
   Wenn du diesen Unterschied nicht wirklich verstanden hast zwischen Bild und Zielmenge. Dann kann ich dir auch nicht erklären, was Surjektiv sein soll ( englisch: on to ) Die Definition von Surjektiv würde im Falle ( 1 ) schlicht und ergreifend lauten



         B  =  Bild  (  A  )       (  5  )