Zeigen, dass Funktion f(x,y):=(x^2 + y^2)*sin(1/√(x^2 + y^2)) für (x,y)≠(0,0) im Nullpunkt differenzierbar ist

Question

Aufgabe:

Gegeben ist die Funktion f : ℝ² → ℝ mit

\( f(x, y)=\left\{\begin{array}{cl}\left(x^{2}+y^{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}\right), & \text { ausserhalb des Nullpunktes }(0,0) \\ 0, & \text { fuer } \mathrm{x}=\mathrm{y}=0\end{array}\right. \)

Nun ist zu zeigen, dass die Funktion f im Nullpunkt differenzierbar ist.

Meine Idee: Ich zeige, dass:

\( 0=\lim \limits_{(h, k) \rightarrow(0,0)} \frac{\left(h^{2}+k^{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{1}{\sqrt{h^{2}+k^{2}}}\right)}{\sqrt{h^{2}+k^{2}}}=\lim \limits_{(h, k) \rightarrow(0,0)}\left(\sqrt{h^{2}+k^{2}} \cdot \sin \left(\frac{1}{\sqrt{h^{2}+k^{2}}}\right)\right) \)

Nur: Wie berechne ich jetzt diesen Grenzwert?

Oder ist der Ansatz völlig falsch oder ungeeignet?

Comments

Ich hätte den Ansatz genau so gemacht.

sin(...) ist ja immer im bereich von -1 bis +1

√(h^2 + k^2) geht für h und k gegen null selber gegen 0.

Damit geht der Grenzwert auch gegen 0.

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Das bedeutet ja, dass der Grenzwert von sin(…)  für (h,k) gegen (0,0) hier gar nicht existiert, richtig? Wie kann dann der gesamte Grenzwert trotzdem existieren?

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Salopp ausgedrückt kannst du so argumentieren:

|sin(unendlich) | ≤ 1.
0 * 'beschränkte Zahl' = 0

Answer 1

Salopp ausgedrückt kannst du so argumentieren:

|sin(unendlich) | ≤ 1.
0 * 'beschränkte Zahl' = 0

Also: Epsilon * |Sinuswert| ≤ Epsilon, da |Sinuswert| ≤ 1