Bei dieser Aufgabe ist es günstig in kartesischen Koordinaten zu rechnen, weil das Volumen von Ebenen begrenzt wird.
Also aus der Gleichung z=x^2+y^2 kann man ablesen, dass die untere Grenze von z 0 ist, weil x^2+y^2 immer größer 0 ist.
Die obere Grenze von z ist dann der Funktionswert, also x^2+y^2.
Aus den anderen 3 Gleichungen kann man nun die Bedingungen für x und y ablesen:
Die untere Grenzen von x und y sind 0, wie du bereits erkannt hast.
Stelle nun die Ebenengleichung nach y um: y=4-x
Die obere Grenze von y ist also 4-x.
Zum Schluss muss das Integral über dx eine feste Zahl als Obergrenze haben, damit wir auch eine Zahl als Ergebnis herausbekommen: Da x,y>0 ist und x+y=4 sein muss, darf x maximal 4 werden, da ansonsten die Gleichung nicht erfüllt wäre. Damit hätten wir alle Grenzen.
Das Integral lautet also:
$$ \int_{0}^{4}\int_{0}^{4-x}\int_{0}^{x^2+y^2}dzdydx$$
