Mehrfachintegral Volumen ausrechnen

Question

Hallo liebe Mathe Lounge Community,

Bei dieser Mehrfachintegral Aufgabe scheitere ich leider seit einiger Zeit. Sie lautet : " Berechnen sie das Volumen des Körpers, der von den Flächen z=x²+y²; x+y=4 ; x=0 ; y=0 begrenzt wird.

Ich habe gelernt dass es hilfreich ist bei Volumen Aufgaben in Zylinderkoordinaten zu rechnen, leider bringt mich dass hier nicht weiter. Ich weiß, dass ich die Grenzen von z,y,x aufstellen muss aber leider weis nicht was die oberen Grenzen von x und y sind sowie die Grenzen von z.

Kann man den das Volumen auch ohne dz berechnen ?

Laut meiner Lösungen ist das Ergebnis 42,67. ich wäre euch sehr dankbar wenn ihr mir auf die Sprünge helfen könntet.

Comments

Meine Idee Für die Grenzen 0< z <x²+y² und 0< y <4-x ist.  Die Grenzen von x verstehe ich dennoch nicht !

Answer 1

Bei dieser Aufgabe ist es günstig in kartesischen Koordinaten zu rechnen, weil das Volumen von Ebenen begrenzt wird.

Also aus der Gleichung z=x²+y² kann man ablesen, dass die untere Grenze von z 0 ist, weil x²+y² immer größer 0 ist.

Die obere Grenze von z ist dann der Funktionswert, also x²+y².

Aus den anderen 3 Gleichungen kann man nun die Bedingungen für x und y ablesen:

Die untere Grenzen von x und y sind 0, wie du bereits erkannt hast.

Stelle nun die Ebenengleichung nach y um: y=4-x

Die obere Grenze von y ist also 4-x.

Zum Schluss muss das Integral über dx eine feste Zahl als Obergrenze haben, damit wir auch eine Zahl als Ergebnis herausbekommen: Da x,y>0 ist und x+y=4 sein muss, darf x maximal 4 werden, da ansonsten die Gleichung nicht erfüllt wäre. Damit hätten wir alle Grenzen.

Das Integral lautet also:

$$\int_{0}^{4}\int_{0}^{4-x}\int_{0}^{x^2+y^2}dzdydx$$

Comments

Vielen Dank für die schnelle Antwort habe soweit alles nachvollziehen können nur woher weis man das x,y>0 sein muss. Weil die untere Grenze Null ist ? Ist das vom Verständnis richtig ?

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Ja weil die untere Grenzen von x und y  durch die Angaben auf 0 festgelegt sind.