Beweisen Sie mittels vollständiger induktion: (1+(1/1))^{1}*(1+(1/2))^{2}*...*(1+(1/(N-1)))^{N-1} = N^{N-1}/(N-1)!

Question

Beweisen Sie mittels vollständiger Induktion

\( \left(1+\frac{1}{1}\right)^{1}\left(1+\frac{1}{2}\right)^{2} \cdots\left(1+\frac{1}{n-1}\right)^{n-1}=\frac{n^{n-1}}{(n-1) !}, \quad \forall n \in \mathbb{N} \)

Answer 1

Oh ist hier n ∈ N überhaupt richtig. Für n darf man doch nicht 1 einsetzen oder?

Also ich zeige das es für n = 2 gilt.

(1 + 1/1)^1 = 2^1 / 1!
2 = 2

Das ist also sicher erfüllt. Nun ist zu zeigen das es für n+1 gilt unter der Voraussetzung das es für n gilt.

(1 + 1/1)^1 * (1 + 1/2)^2 * ... * (1 + 1/(n - 1))^{n - 1} * (1 + 1/n)^n
n^{n - 1}/(n - 1)! * (1 + 1/n)^n = (n + 1)^n/n!
n^n·((n + 1)/n)^n = (n + 1)^n
(n·(n + 1)/n)^n = (n + 1)^n
(n + 1)^n = (n + 1)^n

wzbw.