Aufstellen von Funktionstermen und Lösen von linearen Gleichungssystemen

Question

Ich bräuchte bitte ganz Hilfe bei der Lösung dieser Aufgaben! Komme irgendwie auf keinen grünen Zweig und Sitze jetzt schon seit Stunden da :(

1. Bestimmen Sie den Funktionsterm einer ganzrationalen Funktion 3.Grades dessen Graph einen Tiefpunkt im Ursprung, eine Nullstelle bei x1=6 und dessen Graph außerdem den Punkt P(3/2,25) enthält.

Bestimmen Sie die wesentlichen Eigenschaften des Graphen! (+Zeichnung)

2. Bestimmen Sie den Funktionsterm einer ganzrationalen Zahl 2. Grades dessen Graph die Punkte A(-2/2), B(1/-2) und C(3/3) enthält.

Answer 1

Eine ganzrationale Funktion 3. Grades hat die allgemeine Gleichung f(x) =ax³+bx²+cx+d und die Ableitung f'(x)= 3ax²+2bx+c

(0/0) ist Teifpunkt also f(0)=0 das heißt d = 0 und f'(0)=0 das heißt c = 0.

(6/0) ist Punkt, das heißt 0=216a+36b

(3/2,25) ist Punkt, das heißt 2,25 = 27a + 9b

Das ist ein System von zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten, das man lösen kann.

Answer 2

Du kannst eine Steckbriefaufgabe immer in 3 Schritten Lösen.

1. Die Bedingungen in mathematischer Kurzform notieren

2. Die Bedingungen als Gleichungssystem notieren

3. Das Gleichungssystem lösen.

Comments

1. Bestimmen Sie den Funktionsterm einer ganzrationalen Funktion 3.Grades dessen Graph einen Tiefpunkt im Ursprung, eine Nullstelle bei x1=6 und dessen Graph außerdem den Punkt P(3/2,25) enthält.

Bestimmen Sie die wesentlichen Eigenschaften des Graphen! (+Zeichnung)

f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d

f(0) = 0

f'(0) = 0

f(6) = 0

f(3) = 2.25

Daraus resultieren die Gleichungen

d = 0

c = 0

216·a + 36·b + 6·c + d = 0

27·a + 9·b + 3·c + d = 9/4

Wenn man das löst erhält man

f(x) = -1/12·x^3 + 1/2·x^2

Damit macht man dann noch eine Kurze Kurvendiskussion

Symmetrie: 

    punktsymmetrisch zu ( 2 | 4/3 )

Achsenschnittpunkte:

    mit y-Achse: 0

    mit x-Achse (Nullstellen):

        { 0 ;  6 }

Extremwert(e):

    lokales Minimum bei  ( 0 | 0 )

    lokales Maximum bei  ( 4 | 8/3 )

Wendepunkt(e):

    ( 2 | 4/3 )

Tangenten an Nullstellen:

    y = 0 

    y = -3·x + 18 

Wendetangenten:

    y = x - 2/3 

Wer eine gute Seite braucht um seine Ergebnisse zu kontrollieren dem empfehle ich

http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/steckbrief.htm

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Mathecoach hat da ein bisschen was durcheinandergeworfen. Die richtige Lösung lautet f(x)= - x³/12 + x²/2.

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Tausend dank für deine Hilfe!

Darf ich noch fragen wie du auf die Werte von punktsymmetrie etc kommst?

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Und das f(x)=-x³/12 + x²/2 hast du mit Hilfe von einem linearen Gleichungssystem ausgerechnet oder wie bist du da drauf gekommen?

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Ich sehe woran das liegt. ich habe oben mit 3.25 anstatt 2.25 gerechnet. Ich verbessere das gleich.

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Eine Funktion 3. Grades ist immer Punktsymmetrisch zum Wendepunkt. Diese Symmetrie wird aber normalerweise nicht beachtet.

Und das f(x)=-x³/12 + x²/2 hast du mit Hilfe von einem linearen Gleichungssystem ausgerechnet oder wie bist du da drauf gekommen? 

Ja genau. Du stellst die Gleichungen auf und löst dann das Gleichungssystem. Die Gleichungen siehst du oben. Jetzt sind sie auch richtig.