Determinante mittels Induktion berechnen

Question

ich hänge bei folgender Aufgabe fest: Es soll mittels Induktion die Determinante von A_n für alle n aus N berechnet werden.

Die Matrix A_n sieht folgendermaßen aus:

1  1  1  ...  1

1  2  2  ...  2

1  2  3  ...  3

...  ...  ...    ...

1  2  3  ... n

Kann mir da jemand auf die Sprünge helfen? Die Determinanten für n = 1,2,3,4 habe ich berechnet (alle 1) und nun müsste ich zeigen´, dass |A_n+1| = 1 ist, richtig?

! (Sorry für die schlechte Formatierung)

Answer 1

versuche mal Entwicklung nach der letzten Zeile:

Das wäre im Falle  n=4 so

1   1    1    1
1   2    2    2
1   2    3    3
1   2    3    4

Dann sind die 4 Unterdeterminaten der Reihe nach

1   1    1   
2   2    2   
1   3    3      bzw

1   1    1   
1   2    2   
1   3    3    bzw.

1   1    1   
1   2    2   
1   2    3   bzw.

1   1    1   
1   2    2   
1   2    3

Die ersten haben jeweils zwei gleiche Zeilen

oder Spalten, also det = 0

Und die letzten beiden  haben jeweils den Wert 1 haben, (Ind. vor.)

also hat man für die 4er Determinate

-1*0 +2*0 -3*1 + 4*1  = 1 .

Damit ist der Fall 4 auf den Fall 3 zurückgeführt.

Das muss man jetzt noch auf n+1 und n verallgemeinern.

Comments

Was meinst du mit "der Fall 4 auf den Fall 3 zurückgeführt"?

Ich kann mir keine Formel vorstellen, bei der für die Determinante immer 1 rauskommt, wie soll die denn aussehen?

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Du wolltest doch einen Induktionsbeweis machen.

Da führt man den Fall n+1 auf den Fall n zurück.

Das habe ich für n=3 vorgemacht.

Vermutlich ist aber der Weg in der anderen Lösung

einfacher.

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Ja, das verstehe ich, aber ich sehe nicht, wie mir das beim Finden einer Formel hilft?! :)

Wenn man z.B. für n=1,2,3 die Determinanten 1, -2 und 3 herausbekommt, kann man ja relativ leicht erkennen, dass man det An+1 mit (-1)ⁿ⁺¹*n berechnen kann...

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Formel ist gut.

Wenn die Det immer den Wert 1 hat, dann ist die Formel

einfach nur det ( A_n) = 1 oder vielleicht  1^n   .

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Ist Dir det(A_n) = det(A_n-1) zusammen mit det(A₁) = 1 als Formel nicht gut genug?

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Okay, dankeschön!

Vielleicht könnt ihr mir bei folgender Aufgabe auch helfen?

Die Matrix ist A_n=  2  -1  0   ...  0

                                 -1  2  -1  ...  ..

                                  0  -1   .......  0

                                  ...             2  -1

                                  0  .....  0  -1   2

Die Determinanten für n=1,2,3 sind 2,3 und 4 weshalb ich mir zur Berechnung der Det von A_n "n+1" gedacht habe. Induktionsbehauptung wäre also |A_n+1| = (n+1)+1.

Aber wie sieht nun der Beweis aus? Ich wollte die Matrix umformen, sodass ich nach der letzten Zeile entwickeln kann, aber das ´funktioniert nicht so richtig. Wie soll ich am Ende auf n+2 kommen?

Answer 2

Subtrahiere die erste Zeile von den restlichen und entwickle nach der ersten Spalte.