Bestimme die Ableitungen von g(x)=1/√(sin^3 x) und h(x)=sin√((x^2+1)/x). Verwendete Regeln angeben.

Question

\( g(x)=\frac{1}{\sqrt{\sin ^{3} x}} \) über dem Intervall \( (0, \pi) \)

\( h(x)=\sin \sqrt{\frac{x^{2}+1}{x}} \quad \) über \( \mathbb{R}^{+} \)

Welche Regeln muss ich hier anwenden?

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Probier das mal mit Wolframalpha

https://www.wolframalpha.com/input/?i=%281%2F%E2%88%9A%28sin%28x%29%5E3%29%29%27

https://www.wolframalpha.com/input/?i=%28sin%28%E2%88%9A%28%28x%5E2%2B1%29%2Fx%29%29%29%27

Dort bekommst du meist auch eine Schritt für Schritt Lösung. Das sieht dann in etwa wie folgt aus:

Answer 1

g(x)=1/√(sin³ x)     |erst mal vereinfachen.

                |Potenzgesetze benutzen

       = (sin x)^{-1.5}

Jetzt mit Kettenregel ableiten

Innere Funktion u = sinx. u' = cosx

äussere Funktion f(u) = u^{-1.5}. f'(u) = -1.5*u^{-2.5}

Zusammen:

g' ( x) = -1.5*u^{-2.5} * cosx        |u einsetzen

= -1.5 cosx * sin^{-2.5}

        |Wenn nötig wieder Bruch draus machen.

= - (3 cos x) / (2 √ (sin^5 x))

= - (3 cos x) / (2 sin^2 x √ (sin x)  )

Comments

h(x)=sin√((x²+1)/x)

Beachte: Wegen der Wurzel muss x>0 sein.

Bruch unter der Wurzel umformen ((x²+1)/x) = x + x^{-1}

h(x)=sin ((x+x^{-1})^0.5 )

Ableiten mit Kettenregel (doppelt benutzen)

h' ( x) = cos ((x+x^{-1})^0.5 ) * 0.5 ((x+x^{-1} )^{-0.5} ) * (1 - x^{-2})

            | Wenn gewünscht auch hier wieder in Bruch und Wurzel verwandeln

Sollte dasselbe geben wie ganz unten bei 'derivative' hier:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=sin√%28%28x%5E2%2B1%29%2Fx%29

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und was ist die Lösung für f(x) = x² * sin² * x²