Beweise dass es eine Metrik ist und nicht durch eine Norm induziert wird

Question

Betrache \(\mathbb{R}^2\) mit der euklidischen Norm ||x||=\(\sqrt{x_1^2+x_2^2}\).

Sei \(p\in\mathbb{R}^2\) ein gegebener Punkt und definiere d: \(\mathbb{R}^2\cdot \mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R}^2\) durch

$$ d(x, y):=\left\{\begin{array}{ll} {|x-y|} & {\text { falls } x, y \text { und } p \text { auf einer Geraden liegen }} \\ {|x-p|+|p-y| |} & {\text { sonst. }} \end{array}\right. $$ 

Beweise:

a.) d(x,y) ist eine Metrik auf \(\mathbb{R}^2\).

b.) d(x,y) wird nicht durch die Norm induziert.

Answer 1

bei a) nur die Metrik-Axiome prüfen:

d(x,y) ≥ 0 ist wohl klar, da Norm nie negativ und die Summe von zweien auch nicht.

d(x,y)=0 ⇔ x=y

erst mal:  "⇒"  wen d(x,y)=0  und x, y , p liegen auf einer Geraden,

dann ist d(x,y)= || x - y || = 0 also   x=y wegen entspr. Eigenschaft der Norm.

nicht auf einer Geraden:   || x - p ||  +  || p - y || = 0

Da keine der Normen negativ sein kann (Normeigenschaft) sind

beide gleich 0 also  x = y = p damit lägen alle drei auf einer Geraden.

Der Fall kann also nicht eintreten.

Symmetrie:  Für x,y,p auf einer Geraden ist

zu zeigen   || x - y ||  =  || y - x || 

da aber -1 * (y - x)  =  y - x  ist auch

  || -1 * (y - x)  ||  =  || y - x ||

| -1 | *   ||  (y - x)  ||  =  || y - x ||

  ||  (y - x)  ||  =  || y - x ||

wenn x,y p nicht auf einer Geraden liegen ist
  d(  x , y)| =   || x - p ||  +  || p - y ||
und
 d( y, x) =   || y - p ||  +  || p - x ||
wieder mit ausklammern von -1 wie oben:
              =    || p - y  ||  +  || x - p  ||
und wegen Kommutativität von +
also gleich   || x - p ||  +  || p - y ||.

Dreiecksungleichung:  d(x,y) ≤ d(x,z) + d( z,y ) #
Da muss man nun einige Fälle unterscheiden.

1. Fall:  x,y,p auf einer Geraden aber  x, z , p nicht.
                dann auch  y , z , p nicht ;
               denn sonst wäre auf der Geraden durch y und p
               ja sowohl x als auch z.
dann ist
  d(x,y)  =    || x - y ||
             =    || x - p + p  + z - z  - y ||
              =    || x - p  + p - z  + z -p + p - y  ||    wegen Dr. ungl. bei eukl. Norm.
             ≤    || x - p  + z - y ||    +     || p- y  +  z - p ||    und nochmal
              ≤   || x - p||  + ||z - y ||    +     || p- y || +  || z - p ||  und wieder mit dem
                    vertauschen bei den Differenzen
                =   || x - p ||  +  || z - y ||    +     || y- p  ||  +  || p - z ||
               =   d(x,z) + d( z,y ) 
etc.

Comments

Danke schonmals für das :) Wie kann ich nun b.) zeigen bzw. was ist überhaupt mit der Frage gemeint?

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schau mal dort

https://de.wikipedia.org/wiki/Franz%C3%B6sische_Eisenbahnmetrik

Answer 2

    Internet Lesen macht eben doch schlau. Was seit nunmehr 200 Jahren nachgeplappert wird; Positivität gehöre zu den Abstandsaxiomen



   

   Axiom ( 1 * )   :   d  (  x  ;  y  )  >  =  0       (  1  )



     Selten wurde so deutlich, wie sehr die Anschauung in die Irre führt.



       Axiom 1 : d  (  x  ;  y  )  =  0  <===>  x  =  y   ( Nennen wir es Identitätsaxiom )       (  2  )


       Axiom 2 :    Symmetrie

    Axiom 3  : Dreiecksungleichung  ( DUG )



      Ich beweise  Ungleichung ( 1 )



     d  (  x  ;  x  )  <  =       d  (  x  ;  y  )  +  d  (  y  ;  x  )     (  3a  )     (   folgt aus DUG )

                             =  2  d  (  x  ;  y  )      (  3b  )   (  folgt aus Symmetrie )

             0          <  =  2  d  (  x  ;  y  )      (  3c  )   (  folgt aus Identitätsaxiom ; wzbw )

Comments

   Schönen Gruß an deinen Assistenten; an deinen Professor.

  Schreib sie alle an, die Verfasser von Topologie Lehrbüchern.

  Lass sie nicht dumm sterben.