ich benötige ein wenig Hilfe bei einer Matheaufgabe.
Gegeben ist die Funktion f(x)= 0.5*x + sin (x). Nun soll man die Extrema und die Bereiche, in denen sie steigt/fällt berechnen. Mir ist bewusst, dass man dafür die Ableitung f ' (x)=0.5+cos(x) benötigt.
Extrema findet man heraus, indem man die Ableitung gleich Null setzt. Ein Problem ist folgendes: Wenn ich die Funktion nach x auflösen will, erhalte ich nicht alle Nullstellen:
cos (x) = -0.5 | cos -1
-> x = 2.1 Die Periode ist 2*π, also würde eine allgemeine Gleichung zum Berechnen der Nullstellen ja theoretisch x=2.1+k*2*π lauten. k ist aber ∈ ℤ. Bei k=0 kommt 2.1 heraus. Bei k=1 kommt 8.3 heraus. Ich habe die Funktion zeichnen lassen und sehe nun, dass eine Nullstelle zwischen den beiden (und zwar 4.1) fehlt.
Natürlich könnte ich mir nun auch überlegen, wann die Funktion cos (x) gleich -0.5 ist und so nach x auflösen, aber da habe ich das Problem, dass ich keine einhetliche "Wiederholperiode" bestimmen kann. Es ist zwar regelmäßg, aber die x-Stellen, an denen f ' (x) = -0.5 ist haben alle nicht denselben Abstand voneinander, so wie es bsp. bei den Nullstellen oder den y=1 bzw. y=-1 Stellen schon der Fall ist.
Ich würde nun gerne wissen, wie ich eine allgemeine Gleichung aufstellen kann, mit der ich alle Nullstellen von der 1.Ableitung ausrechnen kann, sowie die Bereiche, in denen f(x) steigt/fällt (bei Letzterem ist wahrscheinlich ebenfalls eine allg. Gleichung notwendig, schließlich hat die Funktion mehrere solcher Stellen). Es wäre auch hilfreich zu wissen, wie ich nun ohne Zeichnung sagen kann, dass es ein Hochpunkt oder ein Tiefpunkt ist, schließlich kann ich ja keine Monotonietabelle erstellen.
Zudem hätte ich gerne kurz einen Ansatz zum Berechnen der steilsten Stellen von f (die 2.Ableitung ist notwedig, aber dasselbe Problem wie oben tritt auf).
Das klingt nach viel Mühe für den Antwortgeber, aber knapp formulierte Ansätze bzw. Ideen würden mir bereits vollkommen ausreichen.
:D
Thomas
