In welchen Bereiche ist diese Funktion monoton fallend/wachsend? Welche Stellen sind konvex?

Question

In welchen Bereichen ist die Funktion f mit f(x):= (ln(x)) / (x) für x > 0 monoton fallend bzw. wachsend? Die Antwort soll in möglichst großen Intervallen angegeben werden.

Welche der Stellen 1, 2 oder 6 gehören zu einem Bereich in dem f konvex ist?

Answer 1

f(x) = LN(x) / x

f'(x) = (1 - LN(x))/x^2

f''(x) = (2·LN(x) - 3)/x^3

Streng monoton steigend f'(x) ≥ 0

(1 - LN(x))/x^2 ≥ 0 --> 0 < x ≤ e

Streng monoton fallend f'(x) ≤ 0

(1 - LN(x))/x^2 ≤ 0 --> x ≥ e

Konvex f''(x) ≥ 0

(2·LN(x) - 3)/x^3 ≥ 0 --> x ≥ e^(3/2) = 4.482

Damit gehört nur die 6 in den Bereich.

Skizze

~plot~ ln(x)/x;[[-1|8|-0.4|0.4]] ~plot~

Comments

Danke, verstehe nicht ganz wie du die Intervalle aufgeschrieben hast.

Ich denke die sollen so: (x, y) dargestellt werden oder?

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Ich habe es nicht in der Intervallschreibweise geschrieben. Das solltest du aber selber können

0 < x ≤ e ist z.B. das Intervall ]0 ; e] oder (0 ; e]

Wenn du die Intervalle notierst kann ich das gerne prüfen.