f(x) = x*exp(x^2), x∈ℝ.
Für die erste Ableitung gilt f'(x) = (2*x^2+1)*exp(x^2) > 0,
also ist f streng monoton steigend in ℝ.
Die zweite Ableitung f''(x) = (4*x^3+6*x)*exp(x^2) = 4*x*(x^2+3/2)*exp(x^2)
hat die offensichtlichen Nullstellen −√(3/2), 0 und +√(3/2). Diese
Nullstellen sind einfach, daher hat f'' hier jeweils einen Vorzeichenwechsel
und f dementsprechend eine Änderung der Krümmungsrichtung (Wendestelle).
Da f offensichtlich "nach hinten hinaus", also für x > +√(3/2) nach links (nach "oben")
gekrümmt ist, folgt nun, dass der Graph von f in
in (−∞ , −√(3/2)) nach rechts,
in (−√(3/2) , 0) nach links,
in (0 , +√(3/2)) nach rechts und
in (+√(3/2) , ∞) nach links gekrümmt ist.
"Und ich habe nur 2 Stunden..."
Die meiste Zeit wird damit verschwendet,
zu kompliziert zu denken und zu rechnen.
