Löse die folgende Ungleichung auf: cos(x)>-0.5

Question

wie bereits im Titel steht, soll man die Ungleichung 1.) cos (x) > -0.5 bzw. 2.) cos (x)  < -0.5 nach x auflösen.

Mit einem Funktionsplotter und einem Online-Ungleichungslöser habe ich herausgefunden, dass in etwa Folgendes für die beiden Ungleichungen herauskommt:

1.) -2.1 < x < 2.1

2.) 2.1 < x < 4.2

Ich soll diese Ungleichung rein rechnerisch lösen (ansonsten könnte man ja einfach 2 Grafen zeichnen und ablesen).

Ich frag mich jetzt, wieso bsp. bei der 1. Ungleichung cos (x) > -0.5 das x kleiner sein muss als 2.1. Denn wenn ich die Operation cos ^-1 durchführe, bekomme ich x > 2.1 heraus. Kann es sein, dass das Ungleichheitszeichen sich wegen cos ^-1  umdrehen muss? Und wenn ja, wieso?

Desweiteren bekommt man ja lediglich nur einen Wert heraus für x und keinen Bereich zwischen 2 Zahlen. Hängt das eventuell damit zusammen, dass der Cosinus-Graph in einer Periode 2 Mal den y-Wert -0.5 erreicht und man deshalb (der Symmetrie wegen) all die Rechnungen auch mit cos (-x) durchführen muss, um den 2. Punkt des Grafen in einer Periode zu berücksichtigen, der den Wert y=-0.5 hat?

Ich wäre sehr froh und dankbar, wenn jemand auf beide Fragen antwortet und mir Lösungen erläutert.

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Benedikt

Answer 1

Da cos(x) eine stetige Funktion ist, langt es ja cos(x) = -0.5 zu bestimmen

cos(x) = -0.5

x = ± acos(-0.5) + k·2·pi = ± 2/3·pi + k·2·pi

Da cos(0) = 1 ergeben sich daraus jetzt die gewünschten Intervalle.

Comments

Vielen Dank für die Antwort ! :D

Ich hätte vielleicht noch erwähnen sollen, dass es bei der Aufgabe darum geht, die Bereiche von der Funktion 0.5*x+sin(x) zu bestimmen, an denen der Graf monoton steigt bzw. sinkt. Das ist der Grund, wieso ich mit der 1.Ableitung obige Ungleichungen formuliert habe.

Es wäre nett, wenn Du mir aufzeigen könntest, wie ich nun rechnerisch auf die Bereiche komme, denn schließlich ist es wegen der Aufgabenstellung wichtig, dass das Ungleichheitszeichen in die richtige Richtung zeigt.

Wieder dasselbe Problem:

cos (x) > -0.5 | cos^-1

x > 2/3* π  ?

Laut Graf und Online-Rechner müsste es aber genau umgekehrt (sprich x < 2/3*π) sein. Meine Frage ist immer noch, ob durch die Operation cos^-1 das Zeichen umgedreht wird und wieso.

Gruß

Benedikt