Question

seinen a,b,c,d natürliche zahlen mit der eigenschaft a*b=c*d zeige das a^2+b^2+c^2+d^2

Comments

sorry sollte heißen: seinen a,b,c,d natürliche zahlen mit der eigenschaft a*b=c*d zeige das a2+b2+c2+d2 keine Primzahl ist

Answer 1

Hi!

Welche Schlüsse kannst Du aus a*b=c*d und a,b,c,d el. IN bzgl. der Teilbarkeit schließen?

Die Aussage wäre ja gezeigt, wenn Du zeigen könntest, dass a^2+b^2+c^2+d^2 einen nichttrivialen Teiler besitzt (d.h. einen ungleich 1).

Gruß...

Answer 2

Definiere  u,v ∈ ℕ  durch  u := ggT(a,c)  sowie  v := ggT(b,d).
Es existieren  x,y ∈ ℕ  mit  a = u·x  sowie  c = u·y. Es gilt
a·v·x = a·ggT(b,d)·x = ggT(a·b,a·d)·x = ggT(c·d,a·d)·x = d·ggT(c,a)·x = d·u·x = d·a.
Daraus folgt  d = v·x.
Außerdem gilt  v·y = (d/x)·(c/u) = (c·d)/(u·x) = a·b/a = b.
Weiter gilt  (u² + v²)·(x² + y²) = u²·x² + u²·y² + v²·x² + v²·y² = a² + c² + d² + b².
Daraus folgt die Behauptung.