Zeige, dass es keine rationale Zahl x gibt mit der Eigenschaft, dass x^n = p.

Question

Aufgabe

Sei p eine Primzahl und sei n ∈ N mit n ≥ 2. Zeige, dass es keine rationale Zahl x gibt mit der Eigenschaft, dass xⁿ = p.

Problem/Ansatz:

Kann mir jemand sagen wie ich das beweisen kann?

Comments

Also wenn ich p=7 nehme und n=5, dann könnte ich doch x=7/5 nehmen?

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Sorry, hab mich verschrieben.. es ist x^n=p

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Wenn x^n eine ganze Zahl ist muss auch schon x eine ganze Zahl sein.

Das kann man bestimmt auf vielen Wegen beweisen.

Eine Möglichkeit:

Sei x^n =: y ∈ ℤ. Dann ist x Nullstelle des normierten Polynoms T^n - y ∈ ℤ[T].

https://de.m.wikipedia.org/wiki/Satz_%C3%BCber_rationale_Nullstellen

Liefert dass das x ganzzahlig sein muss. Der Leitkoeffizient vom Polynom ist 1.

Answer 1

Wenn es so ein x gäbe, dann gäbe es auch ein positives.

Also wäre x von der Form   \(   x=\frac{a}{b}  \) mit a,b ∈ℕ.

==>      \(  x^n=\frac{a^n}{b^n}  \)   also würde x^n = p zu

  \(  \frac{a^n}{b^n} = p \) <=>  p*a^n = b^n  

a^n und b^n enthalten nicht beide den Primfaktor p;

denn dann könnte man   \(  \frac{a^n}{b^n}  \) noch kürzen.

Aus p*a^n = b^n erkennt man, dass b^n den Primfaktor p enthält,

also a^n nicht. Da beim Potenzieren keine Primfaktoren

dazu kommen, enthält auch b den Primfaktor p.

Also enthält b^n ihn n-mal, und wegen n≥2 wäre in der Gleichung

p*a^n = b^n

links einmal der Primfaktor p und rechts mehr als 1 mal.

Widerspruch, also gibt es kein   \(  x=\frac{a}{b}  \) mit a,b ∈ℕ.

                                                           q.e.d.