Beweisen Sie, dass es keine rationale Zahl x gibt, die x^3=4 erfüllt.

Question

wir haben zur Klausurvorbereitung ein paar Fragen/Aufgaben bekommen, die ich gerade durchgehe.

Eine Aufgabe ist:

Beweisen Sie, dass es keine rationale Zahl x gibt, die x³=4 erfüllt.

Ich bekomme den Beweis irgendwie nicht hin. In der Vorlesung hatten wir das mit x²=2. Ich dachte, dass ist vielleicht so ähnlich, aber selbst wenn ich das zur Hilfe nehme bekomme ich das nicht hin.

Dankeee schön.

Answer 1

Nach: https://de.wikipedia.org/wiki/Beweis_der_Irrationalit%C3%A4t_der_Wurzel_aus_2_bei_Euklid

Beweis durch Widerspruch

1. Annahmen:
* p und q sind ganzzahlig und teilerfremd
* der Bruch ist vollständig gekürzt
* Wurzel lässt sich als Bruch darstellen
[1]

2. Umformen, Schlussfolgerung:
p^3 = 4*q^3 [2]
* 4*q^3 ist gerade also ist auch p^3 gerade
* wenn p^3 gerade ist muss auch p gerade sein

3. Weitere Schlussfolgerung:
* man kann also schreiben: p = 2*r
  (r ist ganzzahlig)
* man erhält also mit [2]: 8*r^3 = 4*q^3
* es gilt also: q^3 = 2*r^3
* folglich muss auch q gerade sein

4. Beweis:
* q und p sind gerade, also durch 2 teilbar
* das führt zu einem Widerspruch mit der Annahme der Teilerfremdheit
* deshalb muss [1] irrational sein

Comments

Sehr schön, als Ergänzung eignet sich: Warum ergibt eine gerade Zahl quadriert auch eine gerade Zahl?

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ist die Bruchdarstellung [Bild 1] für den weiteren Beweis wichtig? Ansonsten übersichtlicher Beweis

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Die Annahme lautet, die Wurzel sei rational, also als Bruch darstellbar. Die Bruchdarstellung wird im Verlauf des Beweises genutzt um den Widerspruch zu erzeugen. Also würde ich sagen sie ist notwendig.

Ich möchte aber dazu sagen, ich bin kein Experte in mathematischen Beweisen. Ich habe mich auf die Beweisführung in Wikipedia gestützt, nur mit veränderten Größen. Da der Vergleich aber sehr ähnlich verläuft habe ich ihn gepostet.