f(x)=(x-3)e^x (Tiefpunkt, Wendepunkt, Verhalten im Unendlichen begründen von 0 bis 3)

Question

wir haben in Mathe eine e-funktion bekommen, leider kann ich nicht wirklich viel damit anfangen :S

Funktion:

f(x)=(x-3)e^x

Dazu sollen wir den Tiefpunkt und Wendepunkt berechnen und das Verhalten im Unendlichen begründen von 0 bis 3 den Flächeninhalt im 4. Quadranten berechnen?!?! Kann ich leider net viel mit anfangen, ich hoffe, dass mir irgendjemand helfen kann.

Hier noch eine Skizze zum Graphen, mit Wendepunkt und Tiefpunkt:

Vielen Dank schon mal!!

Nachtrag: oder: globalverhalten und flächeninhalt im quadranten rechts unten von 0 bis 3

Comments

oder: globalverhalten und flächeninhalt im quadranten rechts unten von 0 bis 3

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Willst Du eine vollständige Kurvendiskussion oder einfach nur ein paar Tipps?
Was genau verstehst Du nicht?

Die Kurvendiskussion ist aufwendig.

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hm ich weiß ja nicht genau was zu machen ist bzw. was "globalverhalten und flächeninhalt im quadranten rechts unten von 0 bis 3"  heißen soll :O

Ist es auch aufwendig den Tiefpunkt und Wendepunkt zu berechnnen?

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Für einen Teil deiner Fragen kannst du bestimmt in den Links zu folgender Frage gute Beschreibungen finden:

https://www.mathelounge.de/15625/kurvendiskussion-nullstellen-extrema-tangenten-flache-usw

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Naja, kannst Du schon integrieren? Das müsstest Du nämlich machen, wenn Du den Flächeninhalt zwischen Kurve und x-Achse bestimmen willst.

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hm ja damit haben wir jetzt angefangen aber das ich's kann würde ich jetzt nicht sagen.. kann mir denn mal jemand die 1. und 2. Ableitung von der Funktion sagen? (also f(x)=(x-3)e^x

Answer 1

1. Ableitung:

f'(x) = e^x * (x-2);

 

2. Ableitung:

f''(x) = e^x * (x-1);

Comments

Noch ein Hinweis zum integrieren. Fall ihr das partielle integrieren schon habt, dann wede das am besten an. Damit sollte es klappen.

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ich bin gerade dabei Tiefpunkt und Wendepunkt auszurechnen aber nicht einmal das bekomme ich hin.. -.-'

also die x-werte habe ich schon, ich weiß auch das ich die y-werte bekomme indem ich x einsetzte aber ja das war's dann auch..

Also:

Tiefpunkt: f'(x)=0

f'(x)=e^x*(x-2)

x-2=0

x=2

... weiter komme ich nicht, beim Wendepunkt das selbe 

Wendepunkt: f''(x)=0

f''(x)=e^x*(x-1)

x-1=0

x=1

... das war's dann :/

Wenn ich's richtig einsetzte schauts so aus? f(1)=e¹*(1-2) ? oder ist das schon falsch?

 

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Du musst die x-Werte in die ursprüngliche Funktion einsetzen, nicht in die Ableitungen.

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achjaaaaaaaa also:

f(1)=(1-3)e¹ und f(2)=(2-3)e²

hm ok hilft mir aber jetzt auch nicht weiter :D was kommt denn da jetzt als y-wert raus?

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Du musst Punktkoordinaten immer in f(x) nicht f ' (x) einsetzen.

f(2) = e^2 * (2-3) = -e^2

T( 2 | - e^2)

f(1)=e^1 *(1-3) kannst du noch vereinfachen auf

f(1) = -2e       

Also W(1 | -2e)

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Wenn Du die ursprüngliche Funktion ableitest, erhältst Du wieder eine Funktion. Der Wert der Ableitung an einer bestimmten Stelle x0, das heißt einfach in der Ableitung f'(x = x0) setzen, liefert den Wert der Steigung von f(x) an der Stelle x0.

An den Extrema, also bei den Hoch- und Tiefpunkten, hat die Funktion f(x) die Steigung 0. Da die Ableitung die Steigung wiedergibt, kannst Du mit ihrer Hilfe mögliche Hoch- und Tiefpunkte berechnen indem du schaust für welche x die Bedingung f'(x) = 0 erfüllt ist.

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super dankeschön jetzt habe ich ja schon mal Tief- und Wendepunkt :) Mal schauen was ich beim anderen Teil noch so hinbekomme..

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Es gibt da noch einen kleinen Einwand. Das f'(x) = 0 gilt ist nur eine notwendige Bedingung für einen Extrempunkt. Das heißt, es kann einer sein, muss aber nicht. Es kann auch ein Sattelpunkt sein, so wie im Bild bei der roten Kurve. y hat an der Stelle x = 0 einen Sattelpunkt.

Du musst noch eine zweite Bedingung prüfen. Nämlich:
Bedingung für Mininmum:
f'(x0) = 0 und
f''(x0) > 0
Bedingung für Maximum:
f'(x0) = 0 und
f''(x0) < 0
Sattelpunkt:
f'(x0) = 0 und
f''(x0) = 0

Skizze: rot: y = x^3,  grün: y' = 3x^2 (1.Ableitung),  lila: y'' = 6x (2.Ableitung)

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Beim Wendepunkt verhält es sich ähnlich.

Wenn Du zeigen willst, dass es sich um einen Wendepunkt handelt, dann musst Du folgendes zeigen:
f''(x0) = 0        //2. Ableitung ist 0
f'''(x0) =/=0     //3. Ableitung ist ungleich 0
Es müssen beide Bedingungen erfüllt sein damit die Funktion f(x) an der Stelle x0 einen Wendepunkt hat.

Answer 2

Hier mal was zum Verhalten im Unendlichen:

f(x)=(x-3)e^x

Fall x gegen + unendlich.

(x-3)*e^x → unendlich * unendlich = unendlich vgl. Graph: rechte Seite

Fall x gegen - unendlich.

(x-3)*e^x → minus unendlich * 0 ist noch unklar

Man sollte wohl wissen, dass die Exponentialfunktion stärker ist als jede Polynomfunktion.

Deshalb kommt im Grenzwert 0 raus und zwar findet die Annäherung an 0 von unten her statt. vgl Graph: linke Seite.