Bestimmen Sie folgenden Ausdruck (Permutation)

Question

"σ, ρ, ξ ∈ S9 mit ξ ◦ ρ = σ"

ρ = (1 9 3)(2 6)(4 8 7 5)
σ = (2 7)(4 9 6 5 8)

Wie bestimme ich ξ?

Und wie bestimme ich beispielsweise ρ ◦ σ?

Comments

Nur um mal ein bisschen die grauen Zellen anzuregen. \(\xi\) kannst du mit der analogen Methodik bestimmen, wie du beispielsweise \(x\) bestimmst für

$$ x \cdot 4 = 12 $$

Answer 1

ξ ◦ ρ = σ   gibt mit der Idee von Yakyu:

ξ= σ ◦  ρ^-1 

Dabei ist   ρ^-1 die Permutation , die   ρ   rückgängig macht .  Wenn also durch   ρ etwa 1 auf 3 abgebildet wird,

dann wird durch   ρ^-1 eben 3 auf 1 abgebildet. Bei den Zykeln ist das besonders einfach, die musst du nur

rückwärts lesen.

Also aus

ρ = (1 9 3)(2 6)(4 8 7 5)  folgt

ρ^-1 = ( 3 9 1 ) ( 6 2 ) ( 5 7 8 4 )  aber meistens schreibt man

in jedem Zykel die kleinste Zahl nach vorn, also

ρ^-1 = ( 3 9 1 ) ( 6 2 ) ( 5 7 8 4 ) = ( 1 3 9)(2 6)(4 5 7 8)

Und nun musst du noch das Produkt  ξ= σ ◦  ρ^-1  bilde^n.

Das heißt also ξ= σ nach  ρ^-1  anwenden.

Ausführlich überlegt so:

σ = (2 7)(4 9 6 5 8)   nach ρ^-1 = ( 1 3 9)(2 6)(4 5 7 8)

Die 1 wird durch ρ^-1 auf 3 abgebildet. Dann die 3 durch σ auf sich
selbt, da sie bei der Darstellung von σfehlt. Manche Leute schreiben
auch den "Zykel" (3) mit hin. Also kurz, bei σ ◦  ρ^-1 wird 1 auf 3 abgebildet.

Jetzt muss geschaut werden, worauf die 3 abgebildet wird, damit du den
Zykel ( 1 3 .... ) fortführen kannst. 
Die 3 wird durch ρ^-1 auf 9  abgebildet. Dann die 9 durch σ auf 6.  Also ist bei ξ
schon mal der Zykel  ( 1 3 6 .... )
Die 6 wird durch ρ^-1 auf 2  abgebildet. Dann die 2 durch σ auf 7.  Also ist bei ξ
schon mal der Zykel  ( 1 3 6 7 .... )
Die 7 wird durch ρ^-1 auf 8  abgebildet. Dann die 8 durch σ auf 4.  Also ist bei ξ
schon mal der Zykel  ( 1 3 6 7 4.... )
Die 4 wird durch ρ^-1 auf 5  abgebildet. Dann die 5 durch σ auf 8.  Also ist bei ξ
schon mal der Zykel  ( 1 3 6 7  4 8 .... )
Die 8 wird durch ρ^-1 auf 4  abgebildet. Dann die 4 durch σ auf 9.  Also ist bei ξ
schon mal der Zykel  ( 1 3 6 7  4 8  9 .... )
Die 9 wird durch ρ^-1 auf 1  abgebildet. Dann die 1 durch σ auf 1.  Also ist bei ξ
der erste Zykel  ( 1 3 6 7  4 8  9 ) fertig.

Jetzt schaust du, welches die kleinste Zahl, die hier nicht vorkommt, also 2

Und es geht wieder los :

Die 2 wird durch ρ^-1 auf 6  abgebildet. Dann die 5 durch σ auf 5.  Also ist bei ξ
schon mal der Zykel  (  2 5 .... ).
Die 5 wird durch ρ^-1 auf 5  abgebildet. Dann die 7 durch σ auf 2.  Also ist bei ξ
der nächste Zykel fertig ( 2 5  ).

Damit ist  ξ = ( 1 3 6 7  4 8  9 ) ( 2 5  ).

Ganz nett auch zu lesen bei

http://www.mathematik.uni-muenchen.de/~lfmoser/ws1314/tutoriumsblatt_13_loesung.pdf