Extremwertaufgabe. Rechteck mit aufgesetztem Halbkreis. Der Umfang...

Question

Habe eine Frage zu einer Extremwertaufgabe, DRINGEND ! :(

Ein Gewölbegang hat einen Querschnitt von der Form eines Rechtecks mit aufgesetztem Halbkreis. Der Umfang des Querschnitts is t durch U = 10 m fest vorgegeben. Wie muss das Gewölbe gestaltet werden, damit die Querschnittsfläche möglichst groß wird?

Habe hierzu auch die Lösungen, verstehe jedoch nicht wie diese zustande kommen. Bräuchte einen kurzen schubser um voranzukommen,

LG

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Nachtrag : Die Hauptbedingung ist einfach. Fläche = Halbkreis Fläche + Fläche des Rechteckes.

D.h. : (2r*h) + (pi*r^2 / 2 )

Ich weiß aber nicht weiter. Was muss in die Nebenbedingung? Worauf mich ich hinarbeiten? Verstehe das Ziel dieser Thematik nicht ganz.

LG

Answer 1

NB:

U = 2·r + 2·h + pi·r --> h = 1/2·(u - r·(pi + 2))

HB:

A = 2·r·h + 1/2·pi·r^2

Hier die NB einsetzen

A = 2·r·(1/2·(U - r·(pi + 2))) + 1/2·pi·r^2 = 1/2·r·(2·U - r·(pi + 4))

Ableitung Null setzen

A' = U - r·(pi + 4) = 0 --> r = U/(pi + 4)

Jetzt noch h ausrechnen

h = 1/2·(U - U/(pi + 4)·(pi + 2)) = U/(pi + 4)

Damit sollten die Höhe und der Radius gleich sein.

Jetzt kann man dort noch seine Werte einsetzen. Und die tatsächlichen Abmessungen berechnen.

r = h = U/(pi + 4) = 10/(pi + 4) = 1.400 m

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danke! hat mir wirklich sehr geholfen, schreibe gleich eine Matheprüfung ( Fachabi 12te Klasse ), das Thema hat mir echt Kopfschmerzen bereitet :D

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Hi,

hätte mal eine Frage zu (Hier die NB einsetzen) und zwar wie du auf  1/2·r·(2·U - r·(pi + 4)) gekommen bist.

Danke

Ich weiß ist ein bisschen spät aber trotzdem ;)

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2·r·(1/2·(U - r·(pi + 2))) + 1/2·pi·r²

Ausmultiplizieren und zusammenfassen. Probierst du es mal selber aus. Eventuell Kannst du dir auf von Wolframalpha helfen lassen.

Answer 2

Hier der Schubser

U = b + 2 * h + b/2 * π = 10

Nach b oder h umstellen und dann in die Formel für
die Fläche einsetzen.
Dann hast du eine Gleichung mit 1 Unbekannten.
Davon die 1.Ableitung bilden, zu 0 setzen und den Extremwert
berechnen.

Answer 3

U=2r+2h+r*pi=10

h=(10-2r-r*pi)/2 = 5-r-r*pi/2 = 5-r*(1+pi/2)