Extremwertaufgabe:
Tunnel hat die Form eines Rechtecks mit aufgesetztem Halbkreis. Es geht um die Querschnittsfläche A, die sich aus der Fläche des Rechtecks Ar und der des Halbkreises Ah zusammensetzt.
Dabei ist
$$A_r = a*b$$
und
$$A_h= \frac{π}{4}*d^2*\frac{1}{2}$$
wobei d=b (kann auch a sein, je nachdem wie du dein Rechteck definierst).
Somit
$$A_h=\frac{π}{8}*b^2$$
und
$$A=A_r+A_h=a*b+\frac{π}{8}b^2=b*(a+\frac{π}{8}b)=f(b)$$
Umfang des Tunnels u aus Umfang des Rechtecks (ohne eine Seite b, da Halbkreis direkt aufgesetzt) und des Halbkreises (d=b):
$$u=[b+2*a]+[\frac{π}{2}*b]=20$$
Umstellen nach a:
$$a=\frac{20-\frac{π}{2}b-b}{2}=10-\frac{π}{4}b-\frac{b}{2}$$
Oben einsetzen liefert Zielfunktion:
$$f(b)=b*(a+\frac{π}{8}b)=b*(10-\frac{π}{4}b-\frac{b}{2}+\frac{π}{8}b)=b*(10-\frac{π}{8}b-\frac{b}{2})=10b-\frac{π}{8}b^2-\frac{b^2}{2}$$
Bedingung für b (aus Nullstellenberechnung):
$$\frac{80}{4+π}>b>0$$
Maxima der Zielfunktion bestimmen:
Notwendige Bedingung: f'(b)=0
$$f'(b)=10-\frac{π}{4}b-b=0$$
$$\frac{π}{4}b+b=10$$
$$b(\frac{π}{4}+1)=10$$
$$b=\frac{40}{π+4}≈5,6$$
Hinreichende Bedingung: f''(b)<>0 (hier Maxima gesucht also f''(b)<0)
$$f''(b)=-\frac{π}{4}-1 < 0$$
Nun noch auf globale Maxima überprüfen:
$$\lim\limits_{b\to0}f(b)=0$$
$$\lim\limits_{b\to\frac{80}{4+π}}f(b)=0$$
Also b≈5,6 , dies dann in die Zielfunktion eingeben:
$$f(5,6) ≈ A_{max} ≈ 28$$
Antwortsatz: Die maximale Querschnittsfläche des Tunnels wird bei der Breite b des Rechtecks von b≈5,6m und einem Umfang der Querschnittsfläche von 20m einen Betrag von 28m2 haben.
