z4=1 hat die vier Lösungen 1, i, -1 und -i. Die Winkel zwischen den aufeinander folgenden Lösungen beträgt immer 90°. Das ist bei allen Gleichungen der Form z4=a so.
Beim Multiplizieren in Polarform werden die Beträge multipliziert und die Winkel addiert. Bei z4 wird der Betrag r also mit 4 potenziert, während der Winkel von z mit 4 multipliziert wird.
Nun zur Aufgabe:
Die Gleichung kann man umformen zu: z4=-4+2i
Das führt für den Betrag zu r4=20⇒r=2081≈1,454.
Den Winkel berechnest du mit 4⋅φ∗=tan−1xy=tan−1−42=tan−1(−0,5)≈−26,565°
Allerdings wiederholt sich der Tangens alle 180°. Daher müssen wir gucken, in welchem Quadranten unsere Zahl -4+2i liegt. Sie liegt im zweiten Quadranten, während -26,565° in den vierten Quadranten zeigt. Daher müssen wir 180° addieren und erhalten
4⋅φ≈−26,565°+180°=153,435°⇒φ≈38,36°.
r≈1,454;φ≈38,36°
Damit hast du die erste Lösung.
Die anderen drei erhältst du, indem du zum Winkel 90°, 180° und 270° addierst. Der Betrag ist für alle Lösungen gleich.
Anmerkung zur Berechnung des Winkels:
-4+2i und 4-2i liegen im zweiten, bzw. vierten Quadranten. Bei beiden ergibt xy=−0,5 und scheinbar den gleichen Winkel. Die Zeiger der beiden Zahlen zeigen aber in entgegen gesetzte Richtungen. Daher muss der Winkel eventuell durch Addieren von 180° korrigiert werden.
