z^4=1 hat die vier Lösungen 1, i, -1 und -i. Die Winkel zwischen den aufeinander folgenden Lösungen beträgt immer 90°. Das ist bei allen Gleichungen der Form z^4=a so.
Beim Multiplizieren in Polarform werden die Beträge multipliziert und die Winkel addiert. Bei z^4 wird der Betrag r also mit 4 potenziert, während der Winkel von z mit 4 multipliziert wird.
Nun zur Aufgabe:
Die Gleichung kann man umformen zu: z^4=-4+2i
Das führt für den Betrag zu \(r^4=\sqrt{20} \Rightarrow r=20^{\frac{1}{8}}\approx 1,454\).
Den Winkel berechnest du mit \( 4\cdot\varphi^*=\tan^{-1}\frac{y}{x}=\tan^{-1}\frac{2}{-4}=\tan^{-1}(-0,5) \approx -26,565°\)
Allerdings wiederholt sich der Tangens alle 180°. Daher müssen wir gucken, in welchem Quadranten unsere Zahl -4+2i liegt. Sie liegt im zweiten Quadranten, während -26,565° in den vierten Quadranten zeigt. Daher müssen wir 180° addieren und erhalten
\(4\cdot\varphi\approx -26,565°+180°=153,435° \Rightarrow \varphi \approx 38,36°\).
\(r\approx 1,454 ; \varphi\approx 38,36°\)
Damit hast du die erste Lösung.
Die anderen drei erhältst du, indem du zum Winkel 90°, 180° und 270° addierst. Der Betrag ist für alle Lösungen gleich.
Anmerkung zur Berechnung des Winkels:
-4+2i und 4-2i liegen im zweiten, bzw. vierten Quadranten. Bei beiden ergibt \(\frac{y}{x}=-0,5\) und scheinbar den gleichen Winkel. Die Zeiger der beiden Zahlen zeigen aber in entgegen gesetzte Richtungen. Daher muss der Winkel eventuell durch Addieren von 180° korrigiert werden.
