Komplexe Zahlen bijektiv Polarform

Question

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Aufgabe 3
Seien \( f: \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C} \) eine Abbildung mit \( z \mapsto f(z):=w \cdot \bar{z}, w:=3 e^{-\pi i} \), und \( \cdot \)die komplexe Multiplikation.
a) Berechnen Sie \( f(a) \) und \( f(b) \) für \( a=2+3 i \) und \( b=2 e^{\frac{1}{3} \pi i} \).
b) Skizzieren Sie \( w, a \) und \( b \) in der komplexen Ebene.
c) Prüfen Sie, ob \( f \) bijektiv ist.
d) Prüfen Sie, ob für alle \( u, v \in \mathbb{C} \) gilt:
\( f(u \cdot v)=f(u) \cdot f(v) . \)

Comments

Und was davon kannst du nicht? Ist ja nur ein bisschen rechnen.

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Keine Reaktion auf bisherige Fragen/Kommentare, aber neue Fragen rauswerfen...

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Irgendwer wirds schon rechnen....

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Ich vergleiche lediglich meine Vorgehensweise, bei der ich unsicher bin. Vielen Dank für die vorherigen Antworten, die halfen mir sehr. Liebe Grüße Lee

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Und warum liefert man das nicht mit? Achja, was es nicht gibt, kann man nicht liefern.

Es macht auf Helfer immer einen besseren Eindruck, wenn man bisherige Ansätze und Rechnungen mitliefert. Dann müssen Aufgaben unter Umständen nicht komplett gerechnet werden und man kann sich direkt um die Fehler kümmern.

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Der Nachweis meiner Rechnung oder eine konkretere Formulierung erspart einiges an Zeit für den Helfer, da haben Sie Recht Apfemann, ich werde dies beherzigen. Liebe Grüße Lee Sin

Answer 1

\( f(a) = w \bar{a} = 3 e^{-\pi i} \cdot (2-3 i ) =  3 ( \cos(-\pi)+i \sin(-\pi))  \cdot (2-3 i )  \)

\( =  3 ( -1 +  0 i )  \cdot (2-3 i ) =  -3 \cdot (2-3 i ) = -6 + 9i \)

\( f(b) = w \bar{b} = -3 \cdot 2 \cdot \overline{ (\cos{\frac{1}{3} \pi } + i \sin{\frac{1}{3} \pi }) } = -6 \cdot { (\cos{\frac{1}{3} \pi } - i \sin{\frac{1}{3} \pi }) } \)

\(  = -6 (\frac{1}{2}  - i \frac{\sqrt{3}}{2}  ) = -3+ 3i\sqrt{3}   \)

Comments

Ist nicht w = -3? Uns soll es wirklich 2mal cos sein?

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Die -3 ist klar. Das baue ich ein. Danke

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Du hast doch b auch falsch aufgeschrieben. Es fehlt der Faktor 2 und der Imaginärteil muss sin sein.

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Ach ja. Das ergänze ich.

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Ist nicht w= 3 aufgrund vom - ?

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Welche Überlegung führt Dich zu w=3?

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Es ist

 \( w =  3 ( \cos(-\pi)+i \sin(-\pi)) = 3 \cdot ( -1 + 0i ) = -3 \)

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Achso vielen Dank